Inequações trigonométricas

Teoria Completa

Lembra das funções trigonométricas? Elas são formadas a partir do circulo trigonométrico. As principais são: sen x cos x tan x

Inequações para seno e cosseno

Para as duas primeiras são limitadas:

- 1 sen x 1

- 1 cos x 1

Essa afirmação é verdadeira para todos os valores de x . Se considerarmos, porém, somente a primeira revolução, temos que:

0 < x < 2 π

Esse é o intervalo fundamental para x , onde todos os valores possíveis para função são obtidos.

Quando temos, porém, algo como:

sen ( x ) < 1 2

Estamos pegando a inequação fundamental do seno e restringindo-a ainda mais. Os valores de x possíveis serão aqueles cujo seno é menor que ½ .

Para determina-los, primeiramente achamos o ponto onde o seno tem esse valor, que é: x = π 6

Agora, analisamos o que acontece quadrante a quadrante, caminhando no sentido anti-horário.

No primeiro quadrante ( 0 até π / 2 ), onde está o ponto em questão, quanto maior o ângulo, maior o seno, então, precisamos de:

0 < x < π / 6

No segundo quadrante ( π / 2 até π ), quanto maior o ângulo, menor o seno. No começo do quadrante, o seno vale 1 ( sen π / 2 = 1 ) e vai diminuindo até, em x = 5 π / 6 voltar a ser ½ :

Dessa maneira:

5 π 6 < x < π

Para o terceiro e quarto quadrante, o seno é sempre negativo, e portanto:

π < x < 2 π

Dessa forma, o resultado será:

0 x < π 6         e     5 π 6 < x < 0

A mesma analogia é válida para o cosseno.

Inequações com tangente

A tangente, ao contrário do seno e cosseno, não é limitada, o seja, sua imagem admite quaisquer valores entre menos e mais infinito.

Assim sendo, como resolver inequações com tangente? Basta lembrar de uma coisa: a tangente é sempre crescente entre os quadrantes.

Dessa maneira, por exemplo:

tan x > 1 0 < x < 2 π

Achamos primeiro o ponto onde a tangente vale 1 .

tan ( x ) x = π / 4

E, como a tangente é sempre crescente e queremos valores maiores que 1 :

π 4 < x < π 2   e   3 π 4 < x < 3 π 2

Com valores menores que 2 π porque esse foi o limite imposto na inequação.

Inequações com secante, cossecante e cotangente.

Por definição, temos que:

sec x = 1 c o s ( x ) csc ( x ) = 1 sen ( x )

Dessa maneira, uma inequação como:

csc ( x ) > 2

Leva a:

1 sen ( x ) > 2 1

Que implica que:

sen ( x ) < 1 2

Com o sinal trocado! Agora, é só resolver da mesma maneira que fizemos na primeira seção.

Para cotangente, é só lembrar que esta será sempre decrescente entre os quadrantes, ou seja:

c o t g x < 1 0 < x < 2 π

Ocorre para quando:

π 4 < x < π 2   e   3 π 4 < x < 3 π 2

Legal? Agora vamos para os exercícios!

Expandir

Exercício Resolvido #1

Elaboração Própria

Determine a solução da inequação 1 2 < cos x < 1 no intervalo 0 x < 2 π .

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 1

Primeiramente, vamos determinar onde o cosseno atinge os valores extremos do intervalo. Por tabela:

cos x = 1 2

x = π 3     o u     x = 5 π 3

E:

cos ( x ) = 1 x = 0

Passo 2

Mas algo que eu recomendo fazer pra não se confundir é usar o círculo trigonométrico:

Queremos todos os x à direita dessa reta, ou seja:

0 < x < π 3     o u   5 π 3 < x < 2 π

Resposta

0 < x < π 3     o u   5 π 3 < x < 2 π

Exercício Resolvido #2

Elaboração Própria

Determine o conjunto solução para a inequação sec x > 2 para 0 < x < π 2 .

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 1

Assim, como na teoria, temos:

1 cos ( x ) > 2 1

E, portanto:

cos ( x ) < 1 2

O cosseno vale ½ em:

x = π 3

Passo 2

No enunciado:

0 < x < π 2

Ou seja, os valores estão limitados ao primeiro quadrante, no qual a função cosseno é decrescente.

Como a função é decrescente e cos ( π / 3 ) = 1 / 2 , então:

cos x < 1 2

Para:

π 3 < x < π 2

Resposta

π 3 < x < π 2

Exercício Resolvido #3

Elaboração Própria

Considere a constante θ 0 ,   2 π .

Para que a equação x 2 + 4 x - 8 sen θ = 0 tenha em x duas raízes reais e distintas, θ poderá assumir todos os valores de que intervalo?

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 1

Vamos usar Bháskara para resolver isso aí, como se sen θ fosse uma constante, já que θ é outra variável:

x 1,2 = - 4 ± 16 + 4 8 sen θ 2 = - 4 ± 16 + 32 sen θ 2 = - 4 ± 16 1 + 2 sen θ 2

= - 4 ± 4 1 + 2 sen θ 2 = - 2 ± 2 1 + 2 sen θ

Para que a função tenha duas raízes reais e distintas, precisamos que a parte dentro da raiz seja positiva e, portanto:

1 + 2 sen θ > 0

Ou:

sen θ > - 1 2

Passo 2

O seno tem esse valor em:

θ = 7 π 6

No sentido anti-horário, o valor do seno vai diminuindo, depois sobe até atingir - 1 / 2 novamente em:

θ = 11 π 6

Conforme vemos no círculo trigonométrico:

Assim, para satisfazer

sen θ > - 1 2

Devemos ter:

0 < θ < 7 π 6     o u   11 π 6 < θ < 2 π

Então o intervalo procurado é

0 , 7 π 6 11 π 6 ,   2 π

Resposta

0 , 7 π 6 11 π 6 ,   2 π

Exercício Resolvido #4

Elaboração Própria

Determine a solução da inequação 2   c o s ² x + cos x - 1 > 0 para 0 x π 2

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 1

Ora ora, espere um pouco! Ainda não vimos nada parecido com isso, certo?

Não precisa se desesperar, se você observar direitinho essa estrutura parece uma inequação do 2º grau, né?

Para isso acontecer, basta dizermos que:

c o s x = k

Aí, nossa inequação vai ficar com essa cara aqui:

2 k ² + k - 1 > 0

Agora sim, isso a gente sabe resolver! (Ou pelo menos deveria hahaha)

Passo 2

Show, vamos resolver essa nova inequação que encontramos:

2 k ² + k - 1 > 0

Aplicando Bhaskara na equação   2 k ² + k - 1 = 0 , teremos:

= 1 ² - 4 2 - 1 = 1 + 8 = 9

Então:

k = - 1 ± 9 2 × 2 = - 1 ± 3 4

k 1 = - 1 + 3 4 = 2 4 = 1 2

k 2 = - 1 - 3 4 = - 4 4 = - 1

Passo 3

Como a > 0 a função é crescente, então teremos algo assim para o nosso gráfico:

Ou seja, o y só será positivo para:

k < - 1   o u   k > 1 2

Passo 4

Mas espera um pouco, lá no início a gente disse que c o s x = k

Então, teremos que:

c o s x < - 1   o u   c o s x > 1 2

Já vimos que o cosx está sempre entre -1 e 1, então não é possível ele ser menor que -1 em nenhum intervalo.

Para o intervalo que foi proposto no enunciado( 0 x π 2 teremos:

Queremos todos os x à direita dessa reta e que estejam no intervalo do enunciado, ou seja:

0 < x < π 3  

Show?

Resposta

0 < x < π 3  

Exercício Resolvido #5

Elaboração Própria

Determine a solução da inequação s e n x + c o s x 2 < 1 para 0 x 2 π

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 1

A primeira coisa que vamos fazer é abrir esse produto notável e melhorar a cara dessa inequação:

  s e n x + c o s x 2 < 1

s e n ² x + 2   . s e n x . c o s x + c o s ² x < 1

Rearrumando, temos:

s e n ² x + c o s ² x + 2   . s e n x . c o s x < 1

Lembra da relação fundamental da trigonometria?

Ela nos diz que: s e n ² x + c o s ² x = 1

Substituindo, teremos:

1 + 2 . s e n x . c o s x < 1

2 . s e n x . c o s x < 1 - 1

2 . s e n x . c o s x < 0

Por fim, podemos escrever:

s e n x . c o s x < 0

Essa expressão é bem mais amigável, né?

Passo 2

Show, agora precisamos analisar algumas coisas...

Só de olhar, percebemos que nem o seno e nem o cosseno podem ser iguais a zero. Mas para quais valores de x vai valer essa nossa inequação?

Vamos analisar o nosso ciclo trigonométrico:

Os únicos intervalos onde teremos essa multiplicação dando valores negativos, vai ser entre π 2 e   π e entre 3 π 2   e   2 π

Ou seja nossa solucão será:

S = π 2 , π   3 π 2 , 2 π

Resposta

S = π 2 , π   3 π 2 , 2 π

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