Inequações Polinomiais

Teoria Completa

Já falamos bastante sobre as equações polinomiais e sobre funções, quando pensamos em inequações vamos usar muitos conceitos dessas duas matérias e trabalharemos bastante com o estudo de sinais...

Mas por que estudo de sinais?

Quando falamos de inequações não temos mais uma igualdade, assim como nas equações, mais sim uma desigualdade, agora vão aparecer esses símbolos aqui: > ,     < ,     ≤ ,   ≥

Vamos separar as equações polinomiais de acordo com os seus graus, nesse tópico vamos falar das equações de primeiro e segundo grau

Inequações do 1º grau

Inequações do 1° grau, em geral, vão aparecer do seguinte modo:

x + 3 > 0

Serão todas aquelas no formato: a x + b > c x + d

a x + b ≥ c x + d

a x + b < c x + d

a x + b ≤ c x + d

Onde a , b , c e d são números reais, com a ≠ 0 .

Resolvendo uma inequação de primeiro grau

Para resolver uma inequação de primeiro grau, precisamos encontrar os valores de x que satisfazem a condição da inequação e isso é simples de fazer: basta isolar x .

x + 3 > 0 ⟹ x > - 3

Fácil, não? Se a gente traçar a reta x + 3 no plano cartesiano, teremos:

Como queremos x + 3 > 0 , os valores que satisfazem a inequação são os que estão em laranja na figura acima.

Falta uma coisinha na qual você precisa ficar atento. Se o x tiver coeficiente negativo, como em:

- x + 1 > 0

Você corretamente fará:

- x > - 1

Mas ficará atentando a multiplicar os dois lados por - 1 e pode concluir que:

x > 1

Isso, gafanhoto, está errado!

Ao trocarmos o sinal da inequação invertemos a desigualdade!

Dessa maneira, ao multiplicarmos - 1 , obtemos, na verdade:

x < 1

Essa você já não erra mais ;-)

Inequações do 2º grau

Vamos pensar agora em uma inequação com essa cara aqui:

x ² - 5 x + 6 < 0

Já aprendemos como resolver equações e sabemos que as funções do 2º grau sempre formam uma parábola.

Ok, mas por que isso é importante?

Quando temos uma inequação, qualquer que seja ela, estamos interessados em saber aonde ela será positiva ou negativa...

Show, mas como vamos resolver isso?

Vamos nessa!

Passo 1

Encontrar as raízes

Ou seja, vamos encontrar os valores onde a nossa equação é igual a zero. Obs: Não precisa se desesperar, nada mais é do que o processo que fazíamos antes, relaxaaaaa rs

Para a nossa equação de exemplo, teremos:

x ² - 5 x + 6 = 0

As raízes para essa equação serão:

x 1 = 2     e     x 2 = 3

Esses são os pontos onde o nosso gráfico encosta no eixo x.

Obs: Quando o valor do for negativa a nossa função será ou toda positiva ou toda negativa. Pois não teremos raízes reais. Ok?

Passo 2

Determinar o crescimento da função

No nosso caso, como a > 0 , a função será crescente.

Passo 3

Estudo de sinais no gráfico.

Observe um esboço do gráfico de nosso exemplo. (Quando você for fazer, pode ser algo assim também, não há necessidade de um gráfico muito rebuscado, cheio de detalhes).

Show?

Muito bem, agora nós vamos marcar nesse gráfico os lugares onde essa função é positiva e onde ela é negativa. Nada de outro mundo, o que estiver para cima, é positivo, o que estiver para baixo, negativo.

Beleza, através dessa imagem, observamos que nossa função é < 0 (negativa) para os valores que estão entre 2 e 3.

Para ficar mais “elegante”, vamos escrever nossa solução assim ó:

S = x ∈ R     2 < x < 3 }

Também podemos representar essas respostas atráves de intervalos reais, da seguinte forma:

S = 2 ,   3   o u   S = ] 2 ,   3 [

Esses parênteses ou essas chaves vão indicar que não estamos incluindo nem o 2 e nem o 3 na nossa solução. OMG, qual das duas representações eu utilizo?

Fica a cargo do leitor hahahaha

As duas estão corretas, pode usar a que você achar mais bonitinha :D

E se tivéssemos o no lugar do < na nossa inequação?

A nossa solução incluiria os valores onde o f x = y será igual a 0 (Ou seja, as nossas raízes).

Se tivéssemos a seguinte inequação, por exemplo:

x ² - 5 x + 6 ≥ 0

A nossa resposta, seria os valores em que o y ≥ 0 , ou seja:

S = x ∈ R     x ≤ 2   o u   x ≥ 3 }

Em termos de intervalos reais, teríamos:

S =   ] - ∞ ,   2 ]   o u   [ 3 , + ∞ [

Muita atenção, para incluir o um número na resposta, colocamos o colchete virado pro lado onde ele está fechado.

Belezinha?

Agora é só partir para os exercícios =D

Expandir

Exercício Resolvido #1

UFF, Cálculo IA-Lista 1, GMA, 2008-1, 1

Resolva a inequação:

- 3 x + 1 < 2 x + 5

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Passo 1

Vamos resolver essa inequação, primeiro temos que passar tudo com x   para o lado esquerdo:

- 3 x + 1 - 2 x < 5

Passando também o que não tem x pra direita:

- 3 x - 2 x < 5 - 1

Passo 2

Arrumando:

- 5 x < 4

Agora dividindo tudo por - 5 (atenção: quando se divide por um número negativo tem que inverter o sinal da inequação!):

x > - 4 5

Resposta

x > - 4 5

Exercício Resolvido #2

Vestibular PUC-RJ 2008

Determine a soma dos números inteiros x que satisfazem 2 x + 1 ≤ x + 3 ≤ 4 x .

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Passo 1

Opa! Duas inequações?! Calma, calma. É só analisarmos cada uma e pegar a interseção entre os conjuntos solução.

Para a primeira, temos:

2 x + 1 ≤ x + 3

Isolando x :

x + 1 ≤ 3 → x ≤ 2

Passo 2

Agora, para a segunda:

x + 3 ≤ 4 x

Isolando x :

3 ≤ 3 x → 1 ≤ x → x ≥ 1

Passo 3

Agora, o resultado final será a interseção dos dois conjuntos solução, ou seja, o conjunto de valores que satisfaz ambas condições.

Para a primeira, precisamos que x ≤ 2 e a segunda exige x ≥ 1 . O que satisfaz ambos ao mesmo tempo?

1 ≤ x ≤ 2

Pois x precisa ser maior ou igual a 1 e menor ou igual a 2 . Essa é a nossa solução.

Passo 4

Não terminou ainda não! O problema está pedindo a soma dos números inteiros que compõem a solução. Essa soma é justamente:

1 + 2 = 3

Resposta

3

Exercício Resolvido #3

Elaboração Própria

Quantos números inteiros e positivos satisfazem a inequação x 2 + 2 x - 7 3 ≤ 0

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Passo 1

Primeira coisa que vamos fazer, é deixar essa inequação mais amigável, parecida com o que estamos acostumados a resolver. Para isso, vamos fazer o mmc:

x 2 + 2 x - 7 3 ≤ 0

3 x 6 + 2 ( 2 x - 7 ) 6 ≤ 0

3 x 6 + 4 x - 14 6 ≤ 0

3 x + 4 x - 14 ≤ 0

7 x ≤ 14

x ≤ 2

Passo 2

Os números inteiros e positivos que satisfazem essa inequação serão somente o 1 e o 2 .Obs: O zero não é considerado um numero positivo e nem um número negativo, ele é neutro.

Portanto, somente dois números satisfazem a inequação.

Resposta

Apenas dois números inteiros e positivos: 1 e 2.

Exercício Resolvido #4

Elaboração Própria

Encontre o conjunto solução para a inequação abaixo:

x ² - x + 2 ≤ 0

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Passo 1

Fizemos uma parecida na teoria, lembra?

Vamos primeriamente tentar encontrar as raízes da equação. Simbora?

x 2 - x + 2 = 0

∆ = 1 ² - 4 . 1 . 2 = 1 - 8 = - 7

Opaaa! O é negativo, isso significa que não temos raízes reais.

E AGORA? QUEM PODERÁ NOS DEFENDER?

Passo 2

Olhando para o valor do a, vemos que ele é maior do que zero. Isso significa que a nossa função sempre será positiva. O esboço do nosso gráfico vai ficar assim, ó:

Como no enunciado queríamos os valores de x que tornam essa equação negativa, a resposta será: NENHUM rs

Ou seja, o conjunto solução será:

S = Ø

Obs: Ø Conjunto vazio

Resposta

S = Ø

Exercício Resolvido #5

UFF, Cálculo IA-Lista 1, GMA, 2008-1, 8

Resolva a inequação:

2 x - 1 2 < 16

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Passo 1

Beleza, primeiramente vamos distribuir o termo elevado ao quadrado:

2 x - 1 2 = 4 x 2 - 2 x + 1

Substituindo, temos:

2 x - 1 2 < 16 → 4 x 2 - 4 x + 1 < 16

Jogando tudo para o mesmo lado sem pudor algum:

4 x 2 - 4 x - 15 < 0

Opa, temos uma inequação de segundo grau limpinha agora!

Passo 2

Vamos achar as raízes, para então fazer o estudo do sinal:

x 1,2 = - b ± b 2 - 4 a c 2 a = 4 ± 16 - 4 ⋅ ( 4 ) ( - 15 ) 2 ⋅ 4 = 4 ± 16 + 16 ⋅ 15 8 = 4 ± 16 8 = 1 ± 4 2

Logo:

x 1 = 5 2 x 2 = - 3 2

Passo 3

A partir disso, dividimos o domínio em intervalos limitados pelas raízes e testamos o sinal, que só muda quando passa na raiz, ou seja, podemos escolher qualquer valor nos intervalos gerados que garantiremos que o sinal não muda naquele intervalo. Eles serão:

- ∞ , - 3 2 - 3 2 , 5 2 5 2 ,   ∞

Para o primeiro intervalo, podemos escolher x = - 3 :

4 - 3 2 - 4 - 3 - 15 = 33 > 0

Logo, ela é positiva nesse intervalo.

Para o segundo, podemos escolher o x = 0 :

4 0 2 - 4 0 - 15 = - 15 < 0

Logo, ela é negativa nesse intervalo.

Para o terceiro, podemos escolher x = 5 :

4 5 2 - 4 5 - 15 = 65 > 0

Logo, ela é positiva nesse intervalo.

Passo 4

Voltando a inequação do problema, temos:

2 x - 1 2 < 16 → 4 x 2 - 4 x - 15 < 0

Queremos, portanto, o intervalo com valor negativo da expressão, ou seja:

- 3 2 , 5 2

A solução será, portanto:

x ∈ - 3 2 , 5 2

Resposta

x ∈ - 3 2 , 5 2

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