Inequações exponenciais e logarítmicas

Teoria Completa

Inequações exponenciais com mesma base

Vimos na parte de funções exponenciais que uma função exponencial é sempre decrescente ou sempre crescente. Essa condição dependerá de sua base.

b a s e x

Se tivermos:

0 < b a s e < 1

A função será decrescente, ao passo que:

b a s e > 1

Implicará na função sempre crescente.

Dessa maneira, por exemplo, a inequação:

( 0 , 5 ) x 1 > ( 0 , 5 ) x 2

Só será verdadeira se:

x 1 < x 2

Com sinal trocado em relação a inequação correspondente, pois a base é menor que um e, portanto, a função é decrescente. Já: 2 x 1 > 2 x 2

Só será verdade se:

x 1 > x 2

Com o mesmo sinal da inequação correspondente, pois a base é maior que e, portanto, a função é crescente.

Dessa forma, a inequação:

e x + 1 > e 2 x - 1

Implica na inequação:

x + 1 > 2 x - 1

Pois:

e > 1

E a inequação:

0 , 1 5 x ≥ 0 , 1 2

Implica em:

5 x ≤ 2

Pois:

0 , 1 < 1

Essas inequações são simples de resolver, caso tenha dificuldade, volte as inequações de primeiro grau e depois você vai concordar comigo.

Inequações exponenciais de bases diferentes

Quando a base da inequação é diferente, como quando:

2 x + 1 ≤ 4 x

Precisamos dar uma manipulada nas bases para tentar igualá-las. Lembre que:

4 = 2 2

Substituindo essa beleza:

2 x + 1 ≤ 2 2 x ⟹ 2 x + 1 ≤ 2 2 x

Agora ficou fácil:

x + 1 ≤ 2 x

Que sabemos resolver:

x ≥ 1

Inequações logarítmicas

Para inequações logarítmicas, temos a mesma ideia das exponenciais. Para a notação: log base ⁡ a

Se:

0 < b a s e < 1

O sinal da desigualdade irá trocar, ou seja, para:

log 1 / 2   ⁡ ( x + 1 ) < log 1 / 2   ⁡ ( 2 x )  

Temos a inequação correspondente:

x + 1 > 2 x

Já para quando:

b a s e > 1

O sinal da desigualdade se mantém:

log ⁡ ( 2 x + 1 ) > log ⁡ ( 5 ) → 2 x + 1 > 5

Sabendo que, quando a base está oculta na notação, ela é 10 .

Tudo certo? Vamos aos exercícios.

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Exercício Resolvido #1

Elaboração Própria

Determine o conjunto solução das seguintes inequações

a) 2 x ≥ 2 4

b) 1 3 x ≥ 1 3 2

c) x 2 x - 1 < x 3 ; x ≠ 1 ,   x > 0

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Passo 1

(a)

Como a base é maior que 1 , a expressão é sempre crescente e como consequência:

x ≥ 4

Sim, é só isso.

Passo 2

(b)

Como a base tem valor entre 0 e 1 , a expressão é sempre decrescente, logo: x ≤ 2

Passo 3

(c)

Aqui é um pouco mais complicado, mas nada demais. Vamos olhar as duas últimas condições:

x ≠ 1 x > 0

Isso significa que, ou x está entre 0 e 1 ou x é maior do que 1 . Vamos ver esses dois casos.

Para 0 < x < 1 , a expressão é sempre decrescente, e invertemos a desigualdade:

2 x - 1 > 3

Isolando:

2 x > 4

x > 2

Ops, mas nessa definimos que 0 < x < 1 e obtemos x > 2 , logo, para essa região, não há solução.

Passo 4

Agora, para x > 1 , não invertemos a desigualdade e teremos:

2 x - 1 < 3

Isolando: 2 x < 4

x < 2

Definimos x > 1 e obtemos x < 2 , então a solução será:

1 < x < 2

Resposta

(a)

x ≥ 4

(b)

x ≤ 2

(c)

1 < x < 2

Exercício Resolvido #2

Elaboração Própria

Determine o conjunto solução das inequações abaixo:

a) log 1 3 ⁡ log 4 ⁡ x 2 - 5 > 0

b) log 2 ⁡ ( x - 3 ) + log 2 ⁡ ( x - 2 ) ≤ 1

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Passo 1

(a)

Temos que:

log 1 3 ⁡ 1 = 0

Pois qualquer número elevado 0 1 .

Assim temos que:

log 1 3 ⁡ log 4 ⁡ x 2 - 5 > 0 → log 1 3 ⁡ log 4 ⁡ x 2 - 5 > log 1 3 ⁡ 1

Como as bases são menores que um e maiores que zero, cortamos o log e invertemos a desigualdade: log 4 ⁡ x 2 - 5 < 1

Passo 2

Agora muita atenção, detalhe importantíssimo: os argumentos dos logaritmos têm que ser positivos!! Log de zero, ou log de número negativo não pode!

E lá no enunciado a gente tinha o termo

log 1 3 ⁡ log 4 ⁡ x 2 - 5

Ou seja, também devemos ter:

log 4 ⁡ x 2 - 5 > 0

Daí concluímos que:

0 < log 4 ⁡ x 2 - 5 < 1

Passo 3

Dito isso, vamos continuar!

Temos que: log 4 ⁡ 1 = 0 log 4 ⁡ 4 = 1

Então:

0 < log 4 ⁡ x 2 - 5 < 1

→ log 4 ⁡ 1 < log 4 ⁡ x 2 - 5 < log 4 ⁡ 4

Como a base 4 é maior que um, cortamos o log e mantemos a desigualdade:

1 < x 2 - 5 < 4

Passo 4

Vamos resolver as duas inequações separadamente:

x 2 - 5 > 1     e     x 2 - 5 < 4

Começando pela primeira:

  x 2 - 5 > 1

x 2 > 6

⇒ x < - 6     o u     x > 6

Agora vamos pra segunda:

x 2 - 9 < 0

⇒ - 3 < x < 3

Juntando tudo, obtemos a solução final da inequação:

- 3 < x < - 6     o u     6 < x < 3

Passo 5

(b)

Antes de mais nada, vamos relembrar: os termos dentro dos logs têm que ser positivos, então, pra começo de conversa já sabemos que:

x - 3 > 0 ⇒ x > 3 x - 2 > 0 ⇒ x > 2 ⇒ x > 3

Beleza, agora podemos continuar. :)

Passo 6

Usando a propriedade do log:

log 2 ⁡ x - 3 + log 2 ⁡ x - 2 = log 2 ⁡ x - 3 x - 2

Como:

log 2 ⁡ 2 = 1

Substituindo:

log 2 ⁡ x - 3 x - 2 ≤ log 2 ⁡ 2

Como a base é maior que 1 , cortamos o log e mantemos a desigualdade: x - 3 x - 2 ≤ 2

Distribuindo:

x 2 - 5 x + 4 ≤ 0

Agora é resolver inequação de segundo grau, que terá solução:

1 ≤ x ≤ 4

Mas vimos antes que x > 3 , então a solução é:

3 < x ≤ 4

Resposta

(a)

- 3 < x < - 6     o u     6 < x < 3

(b)

3 < x ≤ 4

Exercício Resolvido #3

Elaboração Própria

Determine o conjunto solução da seguinte inequação:

3 t ≤ 9 2 / t

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Passo 1

A primeira coisa que vamos fazer, é colocar esses caras na mesma base.

Daí vamos escrever:

3 t ≤ 9 2 / t

3 t ≤ ( 3 2 ) 2 / t

3 t ≤ 3 4 / t

Passo 2

Como a nossa base é maior do que 1, podemos escrever:

t ≤ 4 t

Daí, teremos:

t - 4 t ≤ 0

t 2 - 4 t ≤ 0

Temos aí um quociente entre uma equação do 2º grau e uma do 1º grau

Passo 3

As raízes de t ² - 4 = 0 serão t 1 = 2   e   t 2 = - 2 . E essa função é crescente.

A raiz de t será igual a 0.Essa função do primeiro grau também será crescente.

Agora, vamos construir a nossa tabelinha

Vale observar que não podemos colocar o t = 0 , pois isso geraria uma divisão por zero, uma indeterminação matemática.

Sendo assim, nosso conjunto solução será:

S = - ∞ ,   - 2 ∪ ( 0,2 ]

Resposta

S = - ∞ ,   - 2 ∪ ( 0,2 ]

Exercício Resolvido #4

Elaboração Própria

Determine o conjunto solução da seguinte inequação:

2 - x   3 x 2 - x - 1 ≤ 0

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Passo 1

Vamos observar algumas coisas.

Primeiro: Essa função nunca será igual a zero, pois o numerador ( 2 - x ) nunca será igual a zero.

Segundo: Se você prestar atenção, o numerador sempre será positivo, então para essa função ser negativa, o denominador precisa ser negativo.

Ou seja, podemos dizer:

3 x 2 - x - 1 < 0

Passo 2

Vamos resolver essa nova inequação agora

3 x 2 - x - 1 < 0

3 x 2 - x < 1

3 x 2 - x < 3 0

Como a base é maior do que 1, podemos escrever:

x 2 - x < 0

x x - 1 < 0

A raiz de x vai ser igual a 0 e a raiz de x - 1 vai ser igual a 1. As duas são funções do 1º grau CRESCENTES ( a > 0 ) .

Sendo assim, vamos montar a nossa tabelinha.

Show?

Então nossa solução será:

S = ( 0,1 )

Resposta

S = ( 0,1 )

Exercício Resolvido #5

UPF 2014

As populações de duas cidades, M e N, são dadas em milhares de habitantes pelas funções

M ( t ) = log 8 ⁡ ( 1 + t ) 6

N ( t ) = log 2 ⁡ ( 4 t + 4 )