Calcule os seguintes limites.Justifique suas respostas.

l i m x → 1 x 4 - 1 x ³   -   1

Passo 1

Fala aí galera, tudo blz?

Essa questão é bem fundamental! Bora tentar fazer alguns exemplos?

Bom, a questão quer que calculemos o seguinte limite l i m x → 1 x 4 - 1 x ³   -   1 , e em seguida justifique o resultado encontrado. Tudo bem?

Passo 2

O primeiro passo que devemos tomar quando estamos resolvendo uma questão de limites é substituir o valor para o qual meu x   tende na equação.

Ao fazer isso, nos deparamos com:

l i m x → 1 x 4 - 1 x 3 -   1 = 1 4 - 1 1 3 -   1

= 1 4 - 1 1 ³   -   1 = 0 0

ora ora chegamos a uma indeterminação matemática 0 0 . Dessa forma é necessário alguma estratégia para resolver essa indeterminação.

Passo 3

Para fugir da indeterminação encontrada no passo anterior iremos fatorar a nossa equação. Então como em produtos notáveis estudamos que

( a ²   -   b ² )   =   ( a + b ) ( a - b )

Utilizaremos essa mesma ideia para conseguir simplificar a nossa expressão, assim, o numerador da minha equação ficará da seguinte forma:

x 4 - 1   =   ( ( x ² ) ²   -   1 ² )   =   ( x ² - 1 ) ( x ² + 1 )

Entretanto, até agora não apareceu nenhum fator com o qual eu possa cancelar com o denominador, o que significa que devemos simplificar a expressão acima mais ainda. Assim,

( x ²   -   1 ) ( x ² + 1 )   =   ( x   -   1 ) ( x   +   1 ) ( x ²   + 1 )

Agora sim encontramos o valor que nos interessava. Desse modo,

l i m x → 1   ( x   -   1 ) ( x   +   1 ) ( x ²   + 1 ) ( x ³ - 1 )

Porém no denominador esse fator ( x - 1 ) ainda não está visível, dessa forma deveremos manipular também o denominador.

Passo 4

Para fatorar o denominador precisaremos relembrar mais um produto notável, a diferença de cubos:

( x ³ - 1 )   =   ( x - 1 ) ( x ² + x + 1 )

Agora a parcela ( x - 1 ) está bem visível e pronta para cancelamento rs.

Desse modo,

l i m x → 1   ( x   -   1 ) ( x   +   1 ) ( x ²   + 1 ) ( x ³ - 1 ) =

l i m x → 1   ( x   -   1 ) ( x   +   1 ) ( x ²   + 1 ) ( x - 1 ) ( x ² + x + 1 )

l i m x → 1   ( x   +   1 ) ( x ²   + 1 ) ( x ² + x + 1 )

Passo 5

Como nos livramos da indeterminação, agora basta substituir o x em questão por 1 .

l i m x → 1   ( x   +   1 ) ( x ²   + 1 ) ( x ² + x + 1 ) =   ( 1   +   1 ) ( 1 ²   + 1 ) ( 1 ² + 1 + 1 ) =   4 3

Lembrando que existe uma propriedade de limite que fala que o limite de uma constante é sempre a própria constante.

E aí? Tudo tranquilinho?

Pois, bebam água e

Bons Estudos! :)

Resposta

4 3

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