13. Suponha que lim x → 0 ⁡ f x = 1 e lim x → 0 ⁡ g x = - 5 . Especifique quais regras do teorema abaixo utilizadas para efetuar as etapas 1, 2 e 3 do cálculo a seguir:

lim x → 0 ⁡ 2 f x - g x f x + 7 2 3   1 = lim x → 0 ⁡ 2 f x - g x lim x → 0 ⁡ f x + 7 2 3

2 = lim x → 0 ⁡ 2 f x - lim x → 0 ⁡ g x lim x → 0 ⁡ f x + 7 2 3

3 = 2 lim x → 0 ⁡ f x - lim x → 0 ⁡ g x lim x → 0 ⁡ f ( x ) + lim x → 0 ⁡ 7 2 3

= 2 1 - - 5 1 + 7 2 3

= 7 4

Teorema (Leis do Limite). Se L , M ,   c e k são números reais e

lim x → c ⁡ f ( x ) = L e lim x → c ⁡ g x ,

Então:

1. lim x → c ⁡ f x + g x = L + M

2. lim x → c ⁡ f x - g x = L - M

3. lim x → c ⁡ k f x = k L

4. lim x → c ⁡ f x g x = L M

5. lim x → c ⁡ f x g x = L M ,   M ≠ 0

6. lim x → c ⁡ f x n = L n onde n ∈ Z +

7. lim x → c ⁡ f x n = L n , onde n ∈ Z +

Passo 1

Falaaa... tudo bem??

Nessa questão foi dada a resolução de um limite divida em etapas. Vamos precisar dizer quais regras foram usadas em cada etapa.

Passo 2

Na etapa 1, o limite da fração virou a fração dos limites, então foi usada a regra 5:

lim x → c ⁡ f x g x = L M ,   M ≠ 0

Na etapa 2, na parte de cima, o limite da subtração virou a subtração dos limites, então foi usada a regra 2:

lim x → c ⁡ f x - g x = L - M

E na parte de baixo, o limite da potência virou a potência do limite, maaaas repara que nas regras só temos potência de números inteiros e raiz de números inteiros, né? E 2 3 não é um número inteiro. Podemos reescrever:

f x + 7 2 3 = f x + 7 2 3

Daí sim podemos afirmar que as regras usadas nessa parte foram as regras 6 e 7:

lim x → c ⁡ f x n = L n onde n ∈ Z +

lim x → c ⁡ f x n = L n , onde n ∈ Z +

Na etapa 3, na parte de cima só foi colocada a constante pra fora do limite, né? Então a regra usada foi a regra 3:

lim x → c ⁡ k f x = k L

E na parte de baixo, o limite da soma virou a soma dos limites, então a regra usada foi a 1:

lim x → c ⁡ f x + g x = L + M

Resposta

Resolução detalhada nos passos

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Mostre por meio de um exemplo que lim x → a ��� f x + g ( x ) ��� pode existir mesmo que nem lim x → a ⁡ f ( x ) nem lim x → a ⁡ g ( x ) existam.