1b) Determine se existem ou não os seguintes limites. Em caso afirmativo, calcule o seu valor. (Justifique!)(NÃO é permitido uso da regra de L’Hôspital)

lim x → 0 ⁡ 2 x sin ⁡ x 1 - cos ⁡ x

Passo 1

Vamos lá. Pra começar, a primeira coisa que a gente tem que fazer quando vê um limite é substituir pra ver o que dá. Então partiu:

lim x → 0 ⁡ 2 x sin ⁡ x 1 - cos ⁡ x = 2 . 0 . sin ⁡ 0 1 - cos ⁡ 0 = 0 0

Eita! Indeterminação! Mas calma, tem uma coisa muito interessante que a gente pode fazer pra se livrar dela. Lembra dessa identidade trigonométrica?:

sin 2 ⁡ x + cos 2 ⁡ x = 1

Vamos tentar fazer ela aparecer no limite. Pra isso, multiplicamos em cima e em baixo pelo conjugado do denominador:

lim x → 0 ⁡ 2 x sin ⁡ x 1 - cos ⁡ x = lim x → 0 ⁡ 2 x sin ⁡ x 1 - cos ⁡ x ∙ 1 + cos ⁡ x 1 + cos ⁡ x = lim x → 0 ⁡ 2 x sin ⁡ x 1 + cos ⁡ x 1 - cos 2 ⁡ x

E olha só! Não é que apareceu! O denominador eu consigo transformar em sin 2 ⁡ x usando a identidade trigonométrica. Nosso limite vai ficar:

lim x → 0 ⁡ 2 x sin ⁡ x 1 + cos ⁡ x 1 - cos 2 ⁡ x = lim x → 0 ⁡ 2 x sin ⁡ x 1 + cos ⁡ x sin 2 ⁡ x = lim x → 0 ⁡ 2 x 1 + cos ⁡ x sin ⁡ x

Agora a gente tenta de novo substituir:

lim x → 0 ⁡ 2 x 1 + cos ⁡ x sin ⁡ x = 2 . 0 . 1 + cos ⁡ 0 sin ⁡ 0 = 0 0

Puts, de novo? Não tem jeito, vamos ter que mexer mais um pouquinho no limite.

Passo 2

Olha, fica tranquilo que mesmo não tendo resolvido de primeira, da pra gente resolver esse limite. Uma coisa que podemos fazer é tentar destacar dele o limite fundamental trigonométrico. Saca só essas manipulações:

lim x → 0 ⁡ 2 x 1 + cos ⁡ x sin ⁡ x = 2 ∙ lim x → 0 ⁡ x sin ⁡ x ∙ lim x → 0 ⁡ 1 + cos ⁡ x

lim x → 0 ⁡ 2 x 1 + cos ⁡ x sin ⁡ x = 2 ∙ lim x → 0 ⁡ sin ⁡ x x - 1 ∙ lim x → 0 ⁡ 1 + cos ⁡ x

E das propriedades dos limites:

lim x → 0 ⁡ 2 x 1 + cos ⁡ x sin ⁡ x = 2 ∙ lim x → 0 ⁡ sin ⁡ x x - 1 ∙ lim x → 0 ⁡ 1 + cos ⁡ x

Aí sim! Limite fundamental trigonométrico apareceu! Fazendo as contas então vamos ter:

lim x → 0 ⁡ 2 x 1 + cos ⁡ x sin ⁡ x = 2 ∙ 1 - 1 ∙ 1 + cos ⁡ 0

lim x → 0 ⁡ 2 x 1 + cos ⁡ x sin ⁡ x = 2 ∙ 2 = 4

Resposta

lim x → 0 ⁡ 2 x sin ⁡ x 1 - cos ⁡ x = 4

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Calcule.underset(x - 0)(lim) x sen (1)/(x)
Calcule.underset(x - 0)(lim) (tg x)/(x)
Calcule.underset(x - p)(lim) (sen (x^2 - p^2))/(x - p)
Calcule.underset(x - p)(lim) (tg (x - p))/(x^2 - p^2) , p != 0
Calcule.underset(x - 0)(lim) (x - tg x)/(x + tg x)