Calcule o seguinte limite : (NÃO é permitido o uso da Regra de L’Hôpital)

lim x → 0 ⁡ 1 - sec ⁡ x x 2 + x 3

Passo 1

Substituindo x = 0 no limite:

lim x → 0 ⁡ 1 - sec ⁡ x x 2 + x 3 = 1 - sec ⁡ 0 0 + 0 = 1 - 1 0 = 0 0

Deu uma indeterminação, então vamos ter que manipular esse limite de alguma forma pra fugir dela.

Passo 2

O termo 1 - sec ⁡ x sugere que a boa vai ser multiplicar pelo conjugado. Isto é, vamos fazer:

1 - sec ⁡ x x 2 + x 3 = 1 - sec ⁡ x x 2 + x 3 1 + sec ⁡ x 1 + sec ⁡ x

Assim podemos aproveitar o produto notável no numerador:

1 - sec ⁡ x 1 + sec ⁡ x = 1 - sec 2 ⁡ x

E isso vai dar:

1 - sec 2 ⁡ x = cos 2 ⁡ x cos 2 ⁡ x - 1 cos 2 ⁡ x

Usando que 1 = sen 2 ⁡ x + cos 2 ⁡ x :

1 - sec 2 ⁡ x = cos 2 ⁡ x - sen 2 ⁡ x + cos 2 ⁡ x cos 2 ⁡ x

= - sen 2 ⁡ x cos 2 ⁡ x = - tg 2 ⁡ x

Pra não ter que fazer essas contas todas, basta você gravar a identidade trigonométrica

1 + tg 2 ⁡ x = sec 2 ⁡ x

⇔ 1 - sec 2 ⁡ x = - tg 2 ⁡ x

Enfim, isso tudo pra concluir que

lim x → 0 ⁡ 1 - sec ⁡ x x 2 + x 3 = lim x → 0 ⁡ - tg 2 ⁡ x x 2 + x 3 1 + sec ⁡ x

Passo 3

Mas ainda não fugimos da indeterminação.

Agora repara aqui comigo: no numerador tem uma tangente ao quadrado tem um seno ao quadrado. E no denominador tem um termo x 2 + x 3 = x 2 1 + x .

Então dando uma ajeitada na expressão deve dar pra tirar um sen 2 ⁡ x x 2 e usar o limite fundamental do seno!

Saca só:

lim x → 0 ⁡ - tg 2 ⁡ x x 2 + x 3 1 + sec ⁡ x = lim x → 0 ⁡ - sen 2 ⁡ x sec 2 ⁡ x x 2 1 + x 1 + sec ⁡ x

Como o limite do produto é o produto dos limites, isso dá:

- lim x → 0 ⁡ sen 2 ⁡ x x 2 lim x → 0 ⁡ sec 2 ⁡ x 1 + x 1 + sec ⁡ x

Passo 4

Agora é partir pro abraço!

Temos que:

- lim x → 0 ⁡ sen 2 ⁡ x x 2 = - lim x → 0 ⁡ sen ⁡ x x 2 = - 1

lim x → 0 ⁡ sec 2 ⁡ x 1 + x 1 + sec ⁡ x = 1 0 + 1 1 + 1 = 1 2

Logo:

- lim x → 0 ⁡ sen 2 ⁡ x x 2 lim x → 0 ⁡ sec 2 ⁡ x 1 + x 1 + sec ⁡ x = - 1 2

Resposta

- 1 2

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Calcule.underset(x - 0)(lim) x sen (1)/(x)
Calcule.underset(x - 0)(lim) (tg x)/(x)
Calcule.underset(x - p)(lim) (sen (x^2 - p^2))/(x - p)
Calcule.underset(x - p)(lim) (tg (x - p))/(x^2 - p^2) , p != 0
Calcule.underset(x - 0)(lim) (x - tg x)/(x + tg x)