Calcule o seguinte limite:

lim x → 0 ⁡ x cotg ⁡ x

Passo 1

Primeiramente, substituímos o ponto do limite:

lim x → 0 ⁡ x cotg ⁡ x = 0 ⋅ ∞

Que é uma indeterminação, então vamos tentar manipular o limite para chegar no resultado.

Passo 2

Bem, um bom começo é abrir a cotangente: lim x → 0 ⁡ x cotg ⁡ x = lim x → 0 ⁡ x cos ⁡ x sen ⁡ x

Veja que temos agora x e sen ⁡ x com x → 0 . Pelo limite fundamental trigonométrico, sabemos que: lim x → 0 ⁡ sen ⁡ x x = 1

Então vamos tentar chegar nele.

Passo 3

Podemos deixar o x e o seno a sós separando o limite em dois usando a propriedade do produto de limites: lim x → 0 ⁡ x cos ⁡ x sen ⁡ x = lim x → 0 ⁡ x sen ⁡ x ⋅ l i m x → 0 cos ⁡ x

Para o último limite: l i m x → 0 cos ⁡ x = 1

Então: lim x → 0 ⁡ x cos ⁡ x sen ⁡ x = lim x → 0 ⁡ x sen ⁡ x ⋅ 1 = lim x → 0 ⁡ x sen ⁡ x

Para chegar no limite fundamental trigonométrico, basta usar que: a b = 1 b / a

Ficando: lim x → 0 ⁡ x sen ⁡ x = lim x → 0 ⁡ 1 sen ⁡ x x

Assim, jogando o limite para dentro: … = 1 l i m x → 0 sen ⁡ x x = 1

Portanto:

lim x → 0 ⁡ x cotg ⁡ x = 1

Resposta

lim x → 0 ⁡ x cotg ⁡ x = 1

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Calcule.underset(x - 0)(lim) x sen (1)/(x)
Calcule.underset(x - 0)(lim) (tg x)/(x)
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Calcule.underset(x - p)(lim) (tg (x - p))/(x^2 - p^2) , p != 0
Calcule.underset(x - 0)(lim) (x - tg x)/(x + tg x)