Exercícios Resolvidos de Método dos Coeficientes Indeterminados – Soma de Funções
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Encontre todas as soluções da EDO:
Passo 1
Ok, vamos lá. Temos uma EDO de 2ª ordem não homogênea aqui, pois aparece a derivada de segunda ordem e temos funções de soltas aí. Assim, teremos que a solução do problema será dada pela combinação da parte homogênea com a parte particular:
Vamos começar encontrando a solução da parte homogênea.
Passo 2
Para isso, tiramos a EDO homogênea equivalente:
Feito isso, encontramos a equação característica:
Repare que essa é uma equação na forma:
Com , assim temos um quadrado perfeito do tipo:
Beleza, então teremos duas raízes reais idênticas:
Como as raízes são iguais, colocamos um multiplicando uma das exponencias da solução homogênea.
Passo 3
Legal, a solução homogênea já foi, agora vamos olhar para parte particular. Temos que todas as funções são trigonométricas aqui, porém temos como argumento em uma e em outra. Dessa maneira, consideramos a solução particular em duas partes:
Para achar as constantes, substituímos na equação. Vamos começar com . Derivando, temos:
Agora podemos substituir na EDO. Como estamos considerando , descartamos a parte referente a :
Juntamos os termos para comparar:
Comparando temos:
Portanto será:
Passo 4
Vamos seguir a mesmíssima ideia para agora. Derivamos:
Substituindo, agora desconsiderando a parte associada a , vamos ter:
Juntamos os termos para comparar os coeficientes:
Obtemos o sistema:
Para resolver, multiplicamos a primeira equação por e a segunda por :
Somando as duas:
Assim, substituindo na segunda equação do sistema original:
Logo será:
Ou seja, nossa solução particular será:
Passo 5
Agora que encontramos tudo, vamos substituir na solução geral:
E é isso. 😊