A3 T17 T6
Seja o espaço vetorial formado pelas funções contínuas de em , e nele consideremos o produto interno . Seja o subespaço de dado por
Mostre que é uma base ortogonal de .
Encontre a função de que melhor aproxima a função
Obs.: É dado que
Passo 1
Para mostramos que é base ortogonal de , basta mostrarmos que são ortogonais. Então:
Como temos um conjunto gerador de que é ortogonal, ele é uma base ortogonal de .
Passo 2
A função de que melhor aproxima é simplesmente a projeção de sobre ! E como é uma base ortogonal de , a projeção é dada por:
Calculando os produtos internos:
Passo 3
Substituindo:
Resposta
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19. Encontre os vetores w → 1 em W e w → 2 em W ⊥ tais que x → = w → 1 + w → 2 com x → e W dados no(a) Exercício 14(a)(b) Exercício 15(a)
15. Os vetores dados são ortogonais com produto interno euclidiano. Encontre p r o j W x → , com x → = 1,2 , 0 , - 2 e W o subespaço de R 4 gerado pelos vetores dados.(a) v → 1 = 1,1 , 1,1 , v → 2 = 1
14. Os vetores dados são ortogonais com produto interno euclidiano. Encontre p r o j W x → , com x → = 1,2 , 0 , - 2 e W o subespaço de R 4 gerado pelos vetores dados.(a) v → 1 = 1,1 , 1,1 , v → 2 = 1
Verifique se os seguintes pontos pertencem a um mesmo plano:A = (2, 2, 1), B = (3, 1, 2), C = (2, 3, 0) e D = (2, 3, 2);A = (2, 0, 2), B = (3, 2, 0), C = (0, 2, 1) e D = (10, −2, 1)
Decomponha W = - i → - 3 j → + 2 k → como a soma de dois vetores W1 e W2, com W1 paralelo ao vetor j → + 3 k → e W2 ortogonal a este último. (Sugestão: Revise o Exemplo 3.10 na página 178).