Sejam u → ,   v →   ∈ R 4 tais que a projeção ortogonal de u → na direção de v →   é igual a ( 1 ,   1 ,   2 ,   2 ) . O vetor u → pode ser qualquer um dos abaixo, COM EXCEÇÃO DE:

(a) ( 3 ,   1 ,   2 ,   1 )

(b) ( 4 ,   2 ,   1 ,   1 )

(c) ( 3 ,   2 ,   1 ,   1 )

(d) ( 3 ,   1 ,   1 ,   2 )

Passo 1

O que acontece aí é isso:

Conseguimos ver que a projeção e esse vetor entre o u → e a projeção formam um ângulo reto entre si.

Reparem que esse vetor é simplesmente P v → u → - u → . Então:

P v → u → - u → , P v → u → = 0

Queremos saber qual desses vetores das opções pode ser o vetor u → sendo que sabemos que a projeção é   P v → u → = ( 1 ,   1 ,   2 ,   2 ) . Vamos testar para cada um esse produto interno nulo!

Passo 2

a)   u → = ( 3,1 , 2,1 )

P v → u → - u → = 1,1 , 2,2 - 3,1 , 2,1 = ( - 2,0 , 0,1 )

Vamos ver se o produto interno de fato vale zero.

P v → u → - u → , P v → u → = - 2,0 , 0,1 , ( 1,1 , 2,2 ) = - 2 + 2 = 0

Sim, logo, essa não é a exceção!

b)   u → = ( 4,2 , 1,1 )

P v → u → - u → = 1,1 , 2,2 - 4,2 , 1,1 = ( - 3 , - 1,1 , 1 )

Vamos ver se o produto interno também vale zero.

P v → u → - u → , P v → u → = ( - 3 , - 1,1 , 1 ) , ( 1,1 , 2,2 ) = - 3 - 1 + 2 + 2 = 0

Sim, logo, essa também não é a exceção!

c)   u → = ( 3,2 , 1,1 )

P v → u → - u → = 1,1 , 2,2 - 3,2 , 1,1 = ( - 2 , - 1,1 , 1 )

Vamos ver se o produto interno também vale zero.

P v → u → - u → , P v → u → = ( - 2 , - 1,1 , 1 ) , ( 1,1 , 2,2 ) = - 2 - 1 + 2 + 2 = 1

Diferente de 0 ! Então essa era a exceção que estávamos buscando!

Resposta

Letra c

Exercícios Resolvidos de Projeção em Base Ortogonal

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