Seja uma base ortogonal do seja o espaço gerado pelos dois primeiros vetores, e seja P a projeção ortogonal sobre W.
Então:
(I) é uma base de autovetores de P.
(II)
(a) Ambas as afirmações são falsas.
(b) Ambas as afirmações são verdadeiras.
(c) (I) é verdadeira e (II) é falsa.
(d) (I) é falsa e (II) é verdadeira.
Passo 1
(I) Como estamos falando de autovetor, vamos ver o que acontece se aplicamos a transformação P de projeção ortogonal sobre W aos vetores da base
Lembra que o enunciado disse que é ortogonal!
Então vamos usar a formulazinha pra fazer projeção em uma base ortogonal.
Vamos ter:
Vamos fazer a projeção de cada vetor da base
Começando pelo
Mas a base é ortogonal certo??
Então:
Logo:
Escrevendo de outra forma:
Ou seja, aplicamos o vetorà transformação linear e obtemos de volta um múltiplo desse vetor.
E isso é justamente a definição de autovetor!!
Logo, é autovetor associado ao autovalor
Se vocês fizerem isso para os outros vetores da base, vão obter o mesmo resultado!
Ou seja, eles vão ser autovetores associados ao autovalor
Como é base e seus vetores são autovetores, ela é uma base de autovetores e a afirmação (I) é verdadeira.
Passo 2
(II) Vamos chamar aquela coisa enorme de
Vimos na teoria que:
Então vamos fazer o produto interno:
Usando a linearidade do produto interno:
Beleza, mas a base é ortogonal!
Logo:
Então o produto interno fica:
Portanto:
E agora?
Bom, a afirmativa diz que esse carinha é igual a 2.
Pra ele ser igual a 2, então o número de dentro da raíz tem que ser 4.
Como:
Então cada um dos termos da soma teria que ser igual a 1.
Mas isso não necessariamente é verdade.
Isso só seria verdade se a base, além de ortogonal, tivesse todos os vetores com norma igual a 1, ou seja, se fosse uma base ortonormal.
Por isso, vamos dizer que a afirmativa (II) é falsa.
Resposta
(c) (I) é verdadeira e (II) é falsa.