Calcule a transformada de Laplace da seguinte função, indicando para que valores da variável a transformada é válida:
Passo 1
Vemos que a função era e então, em , para a ter também . Isso significa que temos um degrau aí, ficando:
Legal, aplicando a transformada e usando as propriedades, vamos ter:
Passo 2
Começamos com . Temos que, de forma geral:
Assim:
Para considerar o valor de , lembramos da definição da transformada:
Essa integral, e consequentemente a transformada, só irá convergir com certeza se o valor na exponencial for menor que zero. Então, substituímos nossa expressão da transformada e vamos ter isso aqui:
Então vemos que para o que está dentro da exponencial só será menor que zero se , assim teremos:
Passo 3
Bem, agora vamos para . Para o degrau, temos de maneira geral:
Assim, para o nosso caso precisamos que apareça:
Mas temos:
E aí? O que podemos fazer? Bem a função seno é periódica, isso significa que:
Então, dessa forma:
Por tabela, temos:
Então, para o nosso caso, vamos ter:
Aplicando a definição, vamos ter:
Então nada muda, continuaremos com , ficando:
Passo 4
Agora juntamos tudo:
Pegamos o caso mais restrito para , ficando: