Calcule a transformada de Laplace da seguinte função, indicando para que valores da variável a transformada é válida:
Passo 1
Começamos aplicando a transformada em toda a função:
A ideia aqui usar o fato que:
Aí podemos escrever a função por meio de função degrau. De até , temos:
Já em , some, então temos que subtrairmos um degrau multiplicando a função:
Neste mesmo ponto, a função também passa a ser , então somamos um degrau multiplicando essa função:
Dessa forma, vamos ter:
Usando as propriedades da transformada, vamos ter:
Passo 2
Começamos com . Podemos separar mais ainda, ficando:
De forma geral, temos:
Assim, para e , vamos ter:
Legal. Para considerar o valor de , lembramos da definição da transformada:
Essa integral, e consequentemente a transformada, só irá convergir com certeza se o valor na exponencial for menor que zero. Então, substituímos nossa expressão da transformada e vamos ter isso aqui:
Então vemos que para o que está dentro da exponencial só será menor que zero se , assim teremos:
Passo 3
Bem, agora vamos para
De maneira geral, temos que:
Então, no nosso caso temos e:
Aplicando a definição, vamos ter:
Então nada muda, continuaremos com , ficando:
Passo 4
Agora juntamos tudo:
Pegamos o caso mais restrito para , que é justamente (o único caso haha)