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Exercícios Resolvidos de Transformada de Laplace da Função Degrau

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Enunciado

Função Degrau

( a ) Expresse f ( t ) utilizando funções degrau u t - a = u a ( t ) :

f t = 0 ,     0 ≤ t < 1 t 2 - 2 t + 2 + e t ,     t ≥ 1

Dica: e t = e . e t - 1 .

( b ) Utilizando a expressão da função f ( t ) encontrada em ( a ) calcule a transformada de Laplace L { f t } .

Passo 1

( a ) Vamos primeiro reescrever a segunda parte da função f ( t ) , separando em duas partes:

t 2 - 2 t + 2 = t - 1 2 + 1

e t = e . e t - 1

Assim:

t 2 - 2 t + 2 + e t = t - 1 2 + 1 + e . e t - 1

Passo 2

Então, como a função só passa a ser não nula a partir de t = 1 , temos:

f t = t - 1 2 + 1 + e . e t - 1   u 1 ( t )

Passo 3

( b ) Para encontrar a transformada de Laplace, basta separarmos os termos e reconhecermos os deslocamentos. Lembremos:

L x ( t - t 0 ) = e - s t 0 X ( s )

Termo polinomial:

L t 2 = 2 s 3

Termo constante:

L 1 = 1 s

Termo exponencial:

L e . e t = e s - 1

Passo 4

Então, sem o atraso, teríamos:

L t 2 + 1 + e . e t = 2 s 3 + 1 s + e s - 1

Com o atraso, basta multiplicar tudo por e - s :

L f t = L t - 1 2 + 1 + e . e t - 1   u 1 t = 2 s 3 + 1 s + e s - 1 e - s

Resposta

a   f t = t - 1 2 + 1 + e . e t - 1   u 1 ( t )

b   L f t = 2 s 3 + 1 s + e s - 1 e - s