Seja

h x = x + 2 + x - 2 x

b ) Encontre todos x ∈ R tais que - 2 < h x ≤ 4 .

Passo 1

E aí galerinha, tudo na boa por aí?

Nessa questão temos uma função h ( x ) dada por:

h x =   x + 2 + x - 2 x

Precisamos determinar para que valores de x é obedecido:

- 2 < h x ≤ 4

Pra fazer isso vamos começar escrevendo uma expressão pra h sem o módulo, isso facilita um pouco a nossa análise.

Depois, verificamos na expressão que chegamos, quais valores dão h entre - 2 até 4 .

Tranquilo? Vamo nessa!

Passo 2

Vamos agora escrever a expressão de h sem o módulo. Temos:

h x =   x + 2 + x - 2 x  

Temos dois módulos nessa expressão. Vamos analisar cada um deles:

x + 2 = x + 2   ,     x ≥ - 2 - x - 2   ,     x < - 2

Já para o outro módulo, temos:

x - 2 = x - 2   ,     x ≥ 2 - x + 2   ,     x < 2

Logo, podemos dividir a nossa função em 4 intervalos:

- ∞ , - 2 ∪ - 2 ,   0 ∪ 0,2 ∪ [ 2 ,   ∞ )

Substituindo o módulo pelo valor apropriado em cada um desses intervalos, vamos ter:

  • ( - ∞ ,   - 2 ) :
  • h x = - x - 2 + - x + 2 x = - 2

  • - 2 ,   0 ∪ 0,2 :
  • h x = x + 2 + - x + 2 x = 4 x

  • 2 ,   ∞ :

h x = x + 2 + x - 2 x = 2

Perfeito galera! Podemos então definir nossa função por partes como:

h x =   - 2   ,     x < - 2 4 x   ,     - 2 ≤ x < 2   (   x ≠ 0 ) 2   ,     x ≥ 2

Aí sim galerinha, muito bom 😊

Passo 3

Massa! Encontramos a função h definida por partes como:

h x =   - 2   ,     x < - 2 4 x   ,     - 2 ≤ x < 2   (   x ≠ 0 ) 2   ,     x ≥ 2

Olha que legal!! Se x   < - 2 , então:

h x =   - 2

Daí, isso já está fora do intervalo pedido no enunciado. Lá, ele nos pede pra indicar valores de x em que h é maior que - 2 e menor ou igual a 4 .

Show! Já anulamos uma parte do domínio!

Vamos agora verificar o intervalo - 2 ,   0 ∪ 0,2 :

h x = 4 x

Se - 2 ≤ x ≤ 0 , então o valor máximo que h ( x ) assume ocorre quando x = - 2 , em que temos:

h - 2 =   - 2

Logo, todos os outros valores de x nesse intervalo são menores que - 2 , e estão fora do intervalo de interesse.

Já se 0 ≤ x < 2 , temos que:

- Em 0 ≤ x < 1 , temos que:

h x = 4 x > 4

Portanto, fora do intervalo.

- Em 1 ≤ x ≤ 2 :

2 < h x ≤ 4

Logo está no nosso intervalo de interesse.

Resumindo, até agora os únicos valores de x no nosso intervalo de interesse são:

1 ≤ x < 2

Analisando o último intervalo, temos que:

h x = 2 ,     x ≥ 2

Opa, perfeito! Pra qualquer x nesse intervalo h x = 2 , e está dentro de:

- 2 < h x ≤ 4

Portanto, o intervalo em x que deixa h no intervalo pedido no enunciado, é:

x ∈ R     x ≥ 1 }

Perfeito! Terminamos!!

Tchaaau galera 😊

Resposta

x ∈ R     x ≥ 1 }

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