Passo 1

Começamos substituindo esse cara aí:

lim x → 0 ⁡ sen ⁡ x x = sen ⁡ 0 0 = 0 0

Indeterminação! Vamos usar algum processo que elimine esse 0 0 .

Passo 2

Temos que o módulo de x é dado da seguinte maneira:

x = - x ,     x < 0 x ,     x ≥ 0

Então, lateralmente, teremos o seguinte:

lim x → 0 - ⁡ sen ⁡ x x = lim x → 0 - ⁡ sen ⁡ x - x = - lim x → 0 - ⁡ sen ⁡ x x

lim x → 0 + ⁡ sen ⁡ x x = lim x → 0 + ⁡ sen ⁡ x x = lim x → 0 + ⁡ sen ⁡ x x

Vamos calcular os dois limites laterais agora e, se eles convergirem para o mesmo valor, esse será o limite pedido no enunciado.

Passo 3

Assim, calculamos os limites laterais, usando ali o limite fundamental do seno sobre x :

lim x → 0 - ⁡ sen ⁡ x x = - lim x → 0 - ⁡ sen ⁡ x x = - 1 = - 1

lim x → 0 + ⁡ sen ⁡ x x = lim x → 0 + ⁡ sen ⁡ x x = 1 = 1

Logo,

- 1 = lim x → 0 - ⁡ sen ⁡ x x ≠ lim x → 0 + ⁡ sen ⁡ x x = 1

E se os limites laterais são diferentes...

lim x → 0 ⁡ sen ⁡ x x       n ã o   e x i s t e

Resposta

lim x → 0 ⁡ sen ⁡ x x     n ã o   e x i s t e

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Calcule.underset(x - 0)(lim) x sen (1)/(x)
Calcule.underset(x - 0)(lim) (tg x)/(x)
Calcule.underset(x - p)(lim) (sen (x^2 - p^2))/(x - p)
Calcule.underset(x - p)(lim) (tg (x - p))/(x^2 - p^2) , p != 0
Calcule.underset(x - 0)(lim) (x - tg x)/(x + tg x)