Exercícios Resolvidos de Processo de Ortogonalização de Gram-Schmidt

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Enunciado

Determine a fatoração Q R da matriz A

A = 1 1 1 - 1 1 1 0 1 1 1 0 1

Passo 1

Iae, meus queridos! Está com dificuldades nessa questão? Não se preocupe! Estamos aqui para ajudar 😉

Para essa questão, foi dado uma matriz A e a partir dela, temos que determinar sua fatoração Q R .

Ou seja, temos que encontrar

1 1 1 - 1 1 1 0 1 1 1 0 1 = Q · R

Onde Q é uma matriz ortogonal e R é uma matriz triangular superior.

Mas antes de partir para o cálculo da fatoração, a matriz A deve seguir um requisito: Como não conseguimos calcular o determinante de A , suas colunas devem ser linearmente independentes, para provar isso, podemos escalonar a matriz A T ( A transposta) e verificar se alguma linha se torna nula.

Passo 2

Vamos verificar se as colunas de A são L.D.

A T = 1 - 1 0 1 1 1 1 0 1 1 1 1

Escalonando A T , temos

1 - 1 0 1 1 1 1 0 1 1 1 1 L 2 → L 2 - L 1 L 3 → L 3 - L 1

1 - 1 0 1 0 2 1 - 1 0 2 1 0 L 3 → L 3 - L 2

1 - 1 0 1 0 2 1 - 1 0 0 0 1

Nenhuma linha se anulou, portanto, as colunas de A são L.D. e é possível calcular a fatoração Q R !

Passo 3

Partindo para a fatoração, vamos usar as colunas de A como vetores, onde

u 1 = 1 , - 1,0 , 1

u 2 = 1,1 , 1,0

u 3 = 1,1 , 1,1

Com esses vetores, vamos aplicar o processo de Grand Schmidt, para encontrar os vetores v 1 ,   v 2 e v 3 , onde

v 1 = u 1

Logo

v 1 = 1 , - 1,0 , 1

Para calcular v 2 , fazemos

v 2 = u 2 - u 2 · v 1 v 1 2 v 1

v 2 = 1,1 , 1,0 - 1,1 , 1,0 · 1 , - 1,0 , 1 1 2 + - 1 2 + 0 2 + 1 2 2 1 , - 1,0 , 1

v 2 = 1,1 , 1,0 - 1 - 1 + 0 + 0 3 1 , - 1,0 , 1

v 2 = 1,1 , 1,0 - 0 1 , - 1,0 , 1

v 2 = 1,1 , 1,0

Encontramos v 2 e agora vamos calcular v 3 , onde

v 3 = u 3 - u 3 · v 1 v 1 2 v 1 - u 3 · v 2 v 2 2 v 2

v 3 = 1,1 , 1,1 - 1,1 , 1,1 · 1 , - 1,0 , 1 1 2 + - 1 2 + 0 2 + 1 2 2 1 , - 1,0 , 1 - 1,1 , 1,1 · 1,1 , 1,0 1 2 + 1 2 + 1 2 + 0 2 2 1,1 , 1,0

v 3 = 1,1 , 1,1 - 1 - 1 + 0 + 1 3 1 , - 1,0 , 1 - 1 + 1 + 1 + 0 3 1,1 , 1,0

v 3 = 1,1 , 1,1 - 1 3 1 , - 1,0 , 1 - 1 1,1 , 1,0

v 3 = 1,1 , 1,1 - 1 3 , - 1 3 , 0 , 1 3   - 1,1 , 1,0

v 3 = - 1 3 , 1 3 , 0 , 2 3  

Com os vetores v 1 , v 2 e v 3 calculados, podemos seguir

Passo 4

Primeiro vamos obter a matriz Q a partir dos vetores v 1 , v 2 e v 3 , onde q 1 , q 2 e q 3 são colunas de Q .

Q = q 1   q 2   q 3

q 1 , q 2 e q 3 são os vetores unitários de v 1 , v 2 e v 3 respectivamente, onde q 1 é dado por

q 1 = v 1 v 1 → q 1 = 1 , - 1,0 , 1 1 2 + - 1 2 + 0 2 + 1 2

q 1 = 1 , - 1,0 , 1 3

q 1 = 1 3 , - 1 3 , 0 , 1 3

q 2 é dado por

q 2 = v 2 v 2 → q 2 = 1,1 , 1,0 1 2 + 1 2 + 1 2 + 0 2

q 2 = 1,1 , 1,0 3

q 2 = 1 3 , 1 3 , 1 3 , 0

E q 3 é dado por

q 3 = v 3 v 3 → q 3 = - 1 3 , 1 3 , 0 , 2 3 - 1 3 2 + 1 3 2 + 0 2 + 2 3 2

q 3 = - 1 3 , 1 3 , 0 , 2 3 2 3 → q 3 = - 1 3 2 3 , 1 3 2 3 , 0 , 2 3 2 3

Simplificando as frações pela regra dos extremos pelos meios, temos

q 3 = - 1 3 2 3 , 1 3 2 3 , 0 , 2 3

Ufa!! 🥳 chegamos na metade do problema! Mas não se preocupe a pior parte já passou.

Conseguimos encontrar a matriz Q , como dito anteriormente

Q = q 1   q 2   q 3

Q = 1 3 1 3 - 1 3 2 3 - 1 3 1 3 1 3 2 3 0 1 3 0 1 3 0 2 3

Passo 5

Próximo passo é calcular a matriz R .

Neste caso se usa uma formulinha, mas antes, temos que voltar a origem do problema, onde dissemos que a fatoração Q R consiste em escrever A como

A = Q R

A não é uma matriz quadrada, assim como Q , portanto, qual será a dimensão de R ?

Se A é uma matriz 4 x 3 assim como Q , temos

4 x 3 = 4 x 3 · 3 x ?

Pela regra dos extremos pelos meios na multiplicação de matrizes, o número de linhas da matriz R deve ser 3 e por R ser uma matriz triangular superior, ela deve ser quadrada, logo a matriz R tem dimensão 3 x 3 .

Com isso definido, a formulinha para calcular R , com essa dimensão, é

R = u 1 · q 1 u 2 · q 1 u 3 · q 1 0 u 2 · q 2 u 3 · q 2 0 0 u 3 · q 3

Um macete é dizer “ u coluna · q linha” ou “ u j · q i ” para saber a ordem.

Passo 6

Agora vamos calcular os produtos internos de R

Para o termo a 11 de R :

u 1 · q 1 = 1 , - 1,0 , 1 · 1 3 , - 1 3 , 0 , 1 3

u 1 · q 1 = 1 3 - - 1 3 + 0 + 1 3

u 1 · q 1 = 3 3

Para o termo a 1 2 de R :

u 2 · q 1 = 1,1 , 1,0 · 1 3 , - 1 3 , 0 , 1 3

u 2 · q 1 = 1 3 - 1 3 + 0 + 0

u 2 · q 1 = 0

Para o termo a 1 3 de R :

u 3 · q 1 = 1,1 , 1,1 · 1 3 , - 1 3 , 0 , 1 3

u 3 · q 1 = 1 3 - 1 3 + 0 + 1 3

u 3 · q 1 = 1 3

Para o termo a 22 de R :

u 2 · q 2 = 1,1 , 1,0 · 1 3 , 1 3 , 1 3 , 0

u 2 · q 2 = 1 3 + 1 3 + 1 3 + 0

u 2 · q 2 = 3 3

Para o termo a 2 3 de R :

u 3 · q 2 = 1,1 , 1,1 · 1 3 , 1 3 , 1 3 , 0

u 3 · q 2 = 1 3 + 1 3 + 1 3 + 0

u 3 · q 2 = 3 3

Para o termo a 3 3 de R :

u 3 · q 3 = 1,1 , 1,1 · - 1 3 2 3 , 1 3 2 3 , 0 , 2 3

u 3 · q 3 = - 1 3 2 3 + 1 3 2 3 + 0 + 2 3

u 3 · q 3 = 2 3

Calculamos todos os valores de R

Passo 7

Estamos chegando no fim!

Falta substituirmos os valores que encontramos de R e montar a fatoração

Montando a matriz R , temos

R = 3 3 0 1 3 0 3 3 3 3 0 0 2 3

Por fim, montando a equação da fatoração Q R , temos

A = Q R

1 1 1 - 1 1 1 0 1 1 1 0 1 = 1 3 1 3 - 1 6 - 1 3 1 3 1 6 0 1 3 0 1 3 0 2 3 · 3 3 0 1 3 0 3 3 3 3 0 0 2 3

foi trabalhosa, né? Mas não se preocupe, quando o 10 vir, tudo valerá a pena!

É isso, espero ter ajudado! Entendeu tudo? Responde Aí! 😎👍

Resposta

1 1 1 - 1 1 1 0 1 1 1 0 1 = 1 3 1 3 - 1 6 - 1 3 1 3 1 6 0 1 3 0 1 3 0 2 3 · 3 3 0 1 3 0 3 3 3 3 0 0 2 3

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