UFES. Álgebra Linear. Prova 3 Manhã. 2017.2. Questão 2.
Determine a fatoração da matriz
Passo 1
Iae, meus queridos! Está com dificuldades nessa questão? Não se preocupe! Estamos aqui para ajudar 😉
Para essa questão, foi dado uma matriz e a partir dela, temos que determinar sua fatoração .
Ou seja, temos que encontrar
Onde é uma matriz ortogonal e é uma matriz triangular superior.
Mas antes de partir para o cálculo da fatoração, a matriz deve seguir um requisito: Como não conseguimos calcular o determinante de , suas colunas devem ser linearmente independentes, para provar isso, podemos escalonar a matriz ( transposta) e verificar se alguma linha se torna nula.
Passo 2
Vamos verificar se as colunas de são L.D.
Escalonando , temos
Nenhuma linha se anulou, portanto, as colunas de são L.D. e é possível calcular a fatoração !
Passo 3
Partindo para a fatoração, vamos usar as colunas de como vetores, onde
Com esses vetores, vamos aplicar o processo de Grand Schmidt, para encontrar os vetores e , onde
Logo
Para calcular , fazemos
Encontramos e agora vamos calcular , onde
Com os vetores , e calculados, podemos seguir
Passo 4
Primeiro vamos obter a matriz a partir dos vetores , e , onde , e são colunas de .
, e são os vetores unitários de , e respectivamente, onde é dado por
é dado por
E é dado por
Simplificando as frações pela regra dos extremos pelos meios, temos
Ufa!! 🥳 chegamos na metade do problema! Mas não se preocupe a pior parte já passou.
Conseguimos encontrar a matriz , como dito anteriormente
Passo 5
Próximo passo é calcular a matriz .
Neste caso se usa uma formulinha, mas antes, temos que voltar a origem do problema, onde dissemos que a fatoração consiste em escrever como
não é uma matriz quadrada, assim como , portanto, qual será a dimensão de ?
Se é uma matriz assim como , temos
Pela regra dos extremos pelos meios na multiplicação de matrizes, o número de linhas da matriz deve ser 3 e por ser uma matriz triangular superior, ela deve ser quadrada, logo a matriz tem dimensão .
Com isso definido, a formulinha para calcular , com essa dimensão, é
Um macete é dizer “ coluna · linha” ou “” para saber a ordem.
Passo 6
Agora vamos calcular os produtos internos de
Para o termo de :
Para o termo de :
Para o termo de :
Para o termo de :
Para o termo de :
Para o termo de :
Calculamos todos os valores de
Passo 7
Estamos chegando no fim!
Falta substituirmos os valores que encontramos de e montar a fatoração
Montando a matriz , temos
Por fim, montando a equação da fatoração , temos
foi trabalhosa, né? Mas não se preocupe, quando o 10 vir, tudo valerá a pena!
É isso, espero ter ajudado! Entendeu tudo? Responde Aí! 😎👍