UFES, Álgebra Linear, P3 Tarde, 2017.2 - Questão 3
Determine a fatoração da matriz
Passo 1
Oii pessoal, tudo belezinha?
Vamos lá, a fatoração de uma matriz é basicamente escrever como a multiplicação de 2 matrizes:
Onde é uma matriz que tem as colunas ortogonais e é uma matriz triangular superior
Para fazermos esse processo, vamos
- Chamar as colunas de de e
- Aplicar o processo de Gram-Schmidt em e , obtendo , e
- Normalizar os vetores do passo anterior, obtendo , e (essas serão as colunas de )
- Por fim, aplicamos essa fórmula para encontrarmos :
Então bora?
Passo 2
Temos essa matriz:
Vamos chamar as colunas assim:
Nossa primeira tarefa é ortogonalizar essas colunas, e pra isso usamos Gram Schmidt 😉
Passo 3
E vamos de Gram Schmidt!
O primeiro vetor da nossa base ortogonal vai ser o primeiro vetor que já tínhamos:
O segundo vetor da nossa base ortogonal vai ser
Então:
Justo! Deu ele mesmo porque o já é ortogonal ao
Então agora vamos para o terceiro vetor ortogonal. Ele vai ser
Não desiste não! Calculando os produtos internos:
Vou fazer um lance só pra deixar tudo no mesmo denominador:
Então, somando as coordenadas:
Show! Então os vetores ortogonais depois de Gram Schmidt são
O próximo passo é normalizar esses vetores!
Passo 4
Temos
Vamos normalizar esses vetores para obtermos , e
Pra isso basta dividirmos cada vetor pelo seu próprio módulo:
Show, já temos os vetores ortonormais :D
Passo 5
Ta acabando... Agora é só aplicar essa fórmula:
Então:
Eita laiá!
Calma que é o desafio final pra essa questão hahaha vamos só calcular esses produtos internos e acabou!
Então:
Ufaaaa
Acabamos! Conseguimos escrever como a multiplicação de uma matriz ortogonal e uma triangular superior!