Exercícios Resolvidos de Processo de Ortogonalização de Gram-Schmidt

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Enunciado

Determine a fatoração Q R da matriz

A = 1 - 1 - 1 - 1 - 1 0 0 1 1 - 1 0 0

Passo 1

Oii pessoal, tudo belezinha?

Vamos lá, a fatoração Q R de uma matriz A é basicamente escrever A como a multiplicação de 2 matrizes:

A = Q ∙ R

Onde Q é uma matriz que tem as colunas ortogonais e R é uma matriz triangular superior

Para fazermos esse processo, vamos

- Chamar as colunas de A de u 1 , u 2 e u 3

- Aplicar o processo de Gram-Schmidt em u 1 ,   u 2 e u 3 , obtendo v 1 , v 2 e v 3

- Normalizar os vetores do passo anterior, obtendo q 1 , q 2 e q 3 (essas serão as colunas de Q )

- Por fim, aplicamos essa fórmula para encontrarmos R :

A = q 1 q 2 q 3 ∙ u 1 ∙ q 1 u 2 ∙ q 1 u 3 ∙ q 1 0 u 2 ∙ q 2 u 3 ∙ q 2 0 0 u 3 ∙ q 3

Então bora?

Passo 2

Temos essa matriz:

A = 1 - 1 - 1 - 1 - 1 0 0 1 1 - 1 0 0

Vamos chamar as colunas assim:

u 1 = 1 , - 1,0 , - 1

u 2 = - 1 , - 1,1 , 0

u 3 = ( - 1,0 , 1,0 )

Nossa primeira tarefa é ortogonalizar essas colunas, e pra isso usamos Gram Schmidt 😉

Passo 3

E vamos de Gram Schmidt!

O primeiro vetor da nossa base ortogonal vai ser o primeiro vetor que já tínhamos:

v 1 = u 1 = ( 1 , - 1,0 , - 1 )

O segundo vetor da nossa base ortogonal vai ser

v 2 = u 2 - u 2 ∙ v 1 v 1 ∙ v 1 v 1 = - 1 , - 1,1 , 0 - - 1 , - 1,1 , 0 ∙ 1 , - 1,0 , - 1 1 , - 1,0 , - 1 ∙ 1 , - 1,0 , - 1 1 , - 1,0 , - 1

Então:

v 2 = - 1 , - 1,1 , 0 - - 1 + 1 1 + 1 + 1 1 , - 1,0 , - 1 = - 1 , - 1,1 , 0 - 0 ∙ 1 , - 1,0 , - 1 = - 1 , - 1,1 , 0

Justo! Deu ele mesmo porque o u 2 já é ortogonal ao u 1

Então agora vamos para o terceiro vetor ortogonal. Ele vai ser

v 3 = u 3 - u 3 ∙ v 1 v 1 ∙ v 1 v 1 - u 3 ∙ v 2 v 2 ∙ v 2 v 2

v 3 = - 1,0 , 1,0 - - 1,0 , 1,0 ∙ ( 1 , - 1,0 , - 1 ) ( 1 , - 1,0 , - 1 ) ∙ ( 1 , - 1,0 , - 1 ) ( 1 , - 1,0 , - 1 ) - - 1,0 , 1,0 ∙ - 1 , - 1,1 , 0 - 1 , - 1,1 , 0 ∙ - 1 , - 1,1 , 0 - 1 , - 1,1 , 0

Não desiste não! Calculando os produtos internos:

v 3 = - 1,0 , 1,0 - - 1 3 1 , - 1,0 , - 1 - 2 3 - 1 , - 1,1 , 0

Vou fazer um lance só pra deixar tudo no mesmo denominador:

v 3 = - 3 3 , 0 , 3 3 , 0 - - 1 3 , 1 3 , 0 , 1 3 - - 2 3 , - 2 3 , 2 3 , 0

Então, somando as coordenadas:

v 3 = 0 , 1 3 , 1 3 ,   - 1 3

Show! Então os vetores ortogonais depois de Gram Schmidt são

v 1 = ( 1 , - 1,0 , - 1 )

v 2 = - 1 , - 1,1 , 0

v 3 = 0 , 1 3 , 1 3 ,   - 1 3

O próximo passo é normalizar esses vetores!

Passo 4

Temos

v 1 = ( 1 , - 1,0 , - 1 )

v 2 = - 1 , - 1,1 , 0

v 3 = 0 , 1 3 , 1 3 ,   - 1 3

Vamos normalizar esses vetores para obtermos q 1 , q 2 e q 3

Pra isso basta dividirmos cada vetor pelo seu próprio módulo:

q 1 = ( 1 , - 1,0 , - 1 ) 1 2 + 1 2 + 0 2 + 1 2 = 1 3 , - 1 3 , 0 , - 1 3

q 2 = ( - 1 , - 1,1 , 0 ) 1 2 + 1 2 + 1 2 + 0 2 = - 1 3 , - 1 3 , 1 3 , 0

q 3 = 0 , 1 3 , 1 3 ,   - 1 3 0 2 + 1 9 + 1 9 + 1 9 = 0 , 1 3 , 1 3 ,   - 1 3 3 3 = 0 , 1 3 , 1 3 , - 1 3

Show, já temos os vetores ortonormais :D

Passo 5

Ta acabando... Agora é só aplicar essa fórmula:

A = q 1 q 2 q 3 ∙ u 1 ∙ q 1 u 2 ∙ q 1 u 3 ∙ q 1 0 u 2 ∙ q 2 u 3 ∙ q 2 0 0 u 3 ∙ q 3

Então:

A = 1 3 - 1 3 0 - 1 3 - 1 3 1 3 0 1 3 1 3 - 1 3 0 - 1 3 ∙ ( 1 , - 1,0 , - 1 ) ∙ 1 3 , - 1 3 , 0 , - 1 3 ( - 1 , - 1,1 , 0 ) ∙ 1 3 , - 1 3 , 0 , - 1 3 ( - 1,0 , 1,0 ) ∙ 1 3 , - 1 3 , 0 , - 1 3 0 ( - 1 , - 1,1 , 0 ) ∙ - 1 3 , - 1 3 , 1 3 , 0 ( - 1,0 , 1,0 ) ∙ - 1 3 , - 1 3 , 1 3 , 0 0 0 ( - 1,0 , 1,0 ) ∙ 0 , 1 3 , 1 3 , - 1 3

Eita laiá!

Calma que é o desafio final pra essa questão hahaha vamos só calcular esses produtos internos e acabou!

A = 1 3 - 1 3 0 - 1 3 - 1 3 1 3 0 1 3 1 3 - 1 3 0 - 1 3 ∙ 1 3 + 1 3 + 1 3 - 1 3 + 1 3 - 1 3 0 1 3 + 1 3 + 1 3 1 3 + 1 3 0 0 1 3

Então:

A = 1 3 - 1 3 0 - 1 3 - 1 3 1 3 0 1 3 1 3 - 1 3 0 - 1 3 ∙ 3 3 0 - 1 3 0 3 3 2 3 0 0 1 3

Ufaaaa

Acabamos! Conseguimos escrever A como a multiplicação de uma matriz ortogonal e uma triangular superior!

Resposta

A = 1 3 - 1 3 0 - 1 3 - 1 3 1 3 0 1 3 1 3 - 1 3 0 - 1 3 ∙ 3 3 0 - 1 3 0 3 3 2 3 0 0 1 3

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