Seja V = P 2 um espaço vetorial munido com produto interno dado por:

p x , q ( x ) = ∫ - 1 1 p x q x d x

(b) Determine uma base ortogonal para V a partir do conjunto { 1 , x , x 2 }

Passo 1

Uma base ortogonal possui todos os seus elementos ortogonais dois a dois.

E pra dois elementos serem ortogonais, o produto interno entre eles é zero.

Vamos calcular então o produto interno dois a dois entre os elementos do conjunto dado:

1 , x = ∫ - 1 1 x d x = 0

x , x 2 = ∫ - 1 1 x 3 d x = 0

1 , x 2 = ∫ - 1 1 x 2 d x = 2 3

Opa, então esses elementos não são ortogonais dois a dois.

Vamos então fazer o processo de ortogonalização de Gram-Schmidt!

Passo 2

Vamos montar uma nova base { u 1 , u 2 , u 3 } ortogonal, tal que:

u 1 = 1

u 2 = x - x , u 1 u 1 , u 1 u 1 = x - x , 1 1,1 1 = x

u 3 = x 2 - x 2 , u 2 u 2 , u 2 u 2 - x 2 , u 1 u 1 , u 1 u 1 = x 2 - x 2 , x x , x x - x 2 , 1 1,1 1 = x 2 - 1 3

Então nossa base ortogonal vai ser:

1 , x , x 2 - 1 3

Resposta

(b) 1 , x , x 2 - 1 3

Exercícios Resolvidos de Processo de Ortogonalização de Gram-Schmidt

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