Seja subespaço de com o produto interno usual. Seja
Ortonormalizar o conjunto
Completar o conjunto de modo a transformá-lo numa base ortogonal de .
Passo 1
Boas notícias galera, não precisamos nem ortogonalizar eles haha, se liga:
Como eles já são ortogonais, basta normalizarmos os vetores:
Então o conjunto normalizado fica:
Passo 2
Agora precisamos completar o conjunto , de modo a transformá-la numa base ortogonal de . Tá, então precisamos achar um vetor , que obedeça o seguinte:
Repare que as condições são ser ortogonal aos outros dois vetores e fazer parte do conjunto . Então:
Passo 3
Substituindo em e :
Substituindo na equação de baixo:
Agora podemos substituir e na equação de :
Nosso terceiro vetor será então:
Então uma base possível para seria:
Resposta
Exercícios de Livros Relacionados
26. Suponha que o R 3 tenha o produto interno euclidiano. O subespaço de R 3 gerado pelos vetores u → 1 = 4 5 , 0 , - 3 5 e u → 2 = 0,1 , 0 é um plano passando pela origem. Expresse w → = 1,2 , 3 na f
29. Em cada parte, encontre a decomposição QR, se houver.(a) 1 - 1 2 3 (b) 1 2 0 1 1 4 (c) 1 1 - 2 1 2 1 (d) 1 0 2 0 1 1 1 2 0 (e) 1 2 1 1 1 1 0 3 1 (f) 1 0 1 - 1 1 1 1 0 1 - 1 1 1
29. Em cada parte, encontre a decomposição QR, se houver.(a) 1 - 1 2 3 (b) 1 2 0 1 1 4 (c) 1 1 - 2 1 2 1 (d) 1 0 2 0 1 1 1 2 0 (e) 1 2 1 1 1 1 0 3 1 (f) 1 0 1 - 1 1 1 1 0 1 - 1 1 1
29. Em cada parte, encontre a decomposição QR, se houver.(a) 1 - 1 2 3 (b) 1 2 0 1 1 4 (c) 1 1 - 2 1 2 1 (d) 1 0 2 0 1 1 1 2 0 (e) 1 2 1 1 1 1 0 3 1 (f) 1 0 1 - 1 1 1 1 0 1 - 1 1 1
32. (Requer Cálculo) Em cada parte, use o Teorema 6.3.2a para expressar o polinômio dado como uma cominação linear dos três primeiros polinômios de Legendre (ver a observação que segue o Exemplo 8).(a