Calcule o fluxo do campo

Através da superfície definida pelas equações

Está vendo a raiz no campo, bom devemos ficar atentos! Raiz e frações são sinais de singularidades, e aqui temos os dois!

O denominador , deve ser diferente de zero! Então o ponto é uma singularidade.

Como dentro da raiz temos uma soma de quadrados, que é sempre maior que zero, a origem é a única singularidade!

Para retirar esta singularidade vamos definir uma esfera centrada na origem de raio bem pequeno!

Assim, o Teorema de Gauss pode ser aplicado como,

Vamos começar calculando o divergente do campo,

Assim,

Agora precisamos calcular o volume do sólido:

Volume do elipsoide, lembra que o volume de um elipsoide é dado por isso aqui?

Onde são as raízes dos denominadores de , e (os semeixos do elipsoide):

Portanto, como queremos metade do elipsoide:

Volume do cilindro elíptico, a área de uma elipse é dada por:

Onde são as raízes dos denominadores de e (os semeixos da elipse), assim, o volume do cilindro é , com , e

Volume da esfera de raio :

Por fim,

Vamos calcular, , que representa o fluxo do campo que passa pela esfera de raio . Para isso vamos parametrizar a esfera por:

Vamos ver quanto dá esse vetor normal da esfera:

Calculando o produto vetorial:

Para resolver esta integral vamos usar:

Ainda,

Assim, teremos:

Como a normal a esta espera está apontando para fora do sólido, o que significa estar apontando para a origem:

Finalmente!! Teremos: