Teorema de Gauss
Calcule , onde
E é a superfície , orientada pela normal unitária exterior
Passo 1
Essa função é realmente complicada, se tentarmos parametrizar a superfície , que é um elipsoide, como temos na função é interessante tentarmos usar o teorema de Gauss, isso porque é de boa escrever a superfície em coordenadas esféricas.
Vamos separar essa em duas funções e onde
E
A integral vai ser a soma da integral de superfície de mais , vamos aplicar Gauss nas duas mas separamos porque uma vai dar um problema por não ter a origem definida, mas a outra é de boa facin de resolver.
Na não podemos aplicar o teorema de Gauss direto, mas podemos pegar uma segunda superfície sendo uma esfera de raio que vai estar dentro do elipsoide.
Ele vai estar dentro porque basta considerarmos e os eixos do elipsoide são , e todos maiores ou iguais a , então essa esfera está dentro do elipsoide.
Vamos agora ao teorema de Gauss, primeiro em .
Onde é a região que tem como fronteira .
Aplicando, agora, em , como não temos problemas com a função é só aplicar o teorema direto
Onde é a região que tem como fronteira .
Passo 2
Vamos começar achando a integral de superfície em
Vamos começar achando a integral de superfície de , primeiro vamos ver como podemos escrever a parametrização de que é uma esfera de raio , então temos
Com e
Vamos achar o vetor normal, ele vai ser
Vamos começar achando as derivadas da parametrização
O vetor normal vai ser
Repara que esse vetor esse vetor está todo negativo, isso vai fazer ele sempre apontar para dentro da esfera, então ele está com a orientação correta que queremos que é apontar para fora de .
Passo 3
Vamos calcular a integral de superfície
Repara que a função vai ser
Substituindo os valores da superfície , é importante entender que aquele denominador vai ser isso porque
A integral vai ficar
Passo 4
Vamos para a integral tripla agora, primeiro vamos achar o divergente
Passo 5
Voltando para a integral no início do passo
Então vamos ter
Passo 6
Vamos agora para
Aqui o divergente vai ficar
Então a integral vai ficar
Passo 7
Vamos resolver aquela integral tripla, para isso vamos usar coordenadas esféricas, mas dando uma adaptada ao elipsoide.
Esse e são os eixos do elipsoide, assim vamos ter entre e , mas temos que ficar atentos que o jacobiano vai ficar multiplicado por e .
Como temos o elipsoide completo vamos ter e
A integral vai ficar
Vamos resolver essa integral separado no próximo passo
Passo 8
Vamos fazer
Derivando
A integral vai ficar
Voltando para
Como temos uma integral definida vamos ignorar esse
Passo 9
Passo 10
Vamos ter