Considere o campo
Calcule o fluxo de através das faces do cubo
Com vetores normais apontando para dentro.
Passo 1
O campo é de classe em . Como a origem do sistema está no interior do cubo , vamos isolá-la, considerando a esfera de raio 1 centrada na origem para, então, usar o teorema de Gauss na região , que é interior ao cubo e exterior à esfera .
Chamando de a fronteira do cubo, temos do teorema de Gauss:
Onde estamos considerando os vetores normais de e de apontando para fora da região . O divergente de é dado por
Usando o dado no enunciado:
Então, temos:
Lembrando que a região é o interior do cubo e o exterior da esfera,
Passo 2
Agora vamos calcular
Observe que aqui estamos considerando o vetor normal unitário apontando para o interior da esfera . Observe também que, em cada ponto , o vetor normal tem coordenadas . Logo,
Mas esse denominador é o próprio raio da esfera e, portanto, igual a 1. Então,
Assim:
Em coordenadas esférias, temos:
Segue que:
Consequentemente:
Somando tudo, levando em conta a mudança do vetor normal:
Pois o fluxo dessa forma foi obtido com os vetores normais apontando para fora. Como queremos calcular o fluxo com os vetores apontando para dentro, a resposta é