Determine a derivada de cada função:

(23) f x = x + 1 x sin ⁡ x

Passo 1

Fala, galera! Vamos resolver essa questão!

O enunciado pediu pra gente determinar a derivada da função:

f x = x + 1 x sin ⁡ x

Como temos um quociente, nada mais justo que usar a regrinha do quociente na derivação:

g x h x ' = g ' x h x - g x h ' ( x ) h x 2

Onde g ( x ) é o nosso numerador, x + 1 , e h ( x ) é o nosso denominador, x sin ⁡ x . Mas repare que o denominador é um produto de funções, então também vamos precisar usar a regra do produto:

s x ∙ r ( x ) ' = s ' x ∙ r x + s x ∙ r ' x

No nosso caso, s x = x e r x = sin ⁡ x . Assim, basta seguir as fórmulas e ir substituindo as derivadas.

Vamos lá!

Passo 2

A derivada da nossa função vai ser dada por:

f ' x = x + 1 ' x sin ⁡ x - x + 1 x sin ⁡ x ' x sin ⁡ x 2

No numerador, temos uma função polinomial, x + 1 , que pode ser derivada pela regra da potência:

d d x x n = n x n - 1

E no termo x sin ⁡ x , vamos derivar de acordo com a regra do produto, sabendo que a derivada do seno é igual ao cosseno:

x sin ⁡ x ' = x ' x sin ⁡ x + x sin ⁡ x '

x sin ⁡ x ' = 1 ∙ ( x sin ⁡ x ) + x cos ⁡ x

Então, juntando tudo, vamos ter:

f ' x = 1 ∙ x sin ⁡ x - x + 1 ( 1 ∙ sin ⁡ x + x cos ⁡ x ) x sin ⁡ x 2

f ' x = x sin ⁡ x - x + 1 ( sin ⁡ x + x cos ⁡ x ) x 2 sin 2 ⁡ x

Aplicando a propriedade distributiva:

f ' x = x sin ⁡ x - x sin ⁡ x - sin ⁡ x - x 2 cos ⁡ x - x cos ⁡ x x 2 sin 2 ⁡ x

E simplificando:

f ' x = - sin ⁡ x - x 2 cos ⁡ x - x cos ⁡ x x 2 sin 2 ⁡ x

Valeu, galera! Até a próxima! 😉

Resposta

- sin ⁡ x - x 2 cos ⁡ x - x cos ⁡ x x 2 sin 2 ⁡ x

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