Derive:

  1. y = sin ⁡ 4 x

Passo 1

Faaaaaala, galera... Tranquileba?? Mogli na área 😊. Bora responder Aí essa questão?

A questão nos pede para calcularmos a derivada de uma tal função. Como fazer isso? Bom, que tal vermos a definição. Mas antes, o que é a derivada?

Imagine que temos:

Imagine que temos uma função qualquer f ( x ) e temos então sua reta tangente num ponto qualquer. Mas essa reta tangente realmente toca num só ponto? Podemos provar isso? Por exemplo ela toca em 5,0 mas não em 5,00000000001 ? Podemos dizer que não, certo? Então uma visão de perto da reta no ponto:

Onde h é um passo instantemente depois.

Da reta tangente, sabemos que:

m = Δ y Δ x

Ou o famoso “ioiô-m-xoxo” que tanto aprendemos. Assim:

Δ y Δ x = f x + h - f x x + h - x

Que é:

f x + h - f x h

Mas como garantiremos que qualquer derivada seja exatamente num ponto? Teremos que fazer que o passo h seja muito pequeno. Logo vamos toma-lo indo para 0 , ou seja, tendendo a 0 . Assim:

lim h → 0 ⁡   f x + h - f x h

E esta é a chamada derivada, assim:

f ' x = lim h → 0 ⁡   f x + h - f x h

E este é, portanto, a definição de derivada!! Portanto se queremos saber a derivada da função num ponto, basta aplicarmos essa definição de derivada da função no ponto e analisarmos seus limites.

Então vamos lá?!

Bora pro próximo passo?!

Passo 2

Obrigado por vir.

Então, temos:

f ' x = lim h → 0 ⁡   f x + h - f x h

Aplicando a função f x = sin ⁡ 4 x e f x + h = sin ⁡ 4 ( x + h ) .

f ' x = lim h → 0 ⁡   sin ⁡ 4 ( x + h ) - s i n ⁡ ( 4 x ) h

Sabemos que o seno da soma é dado por sin ⁡ a + b = sin ⁡ a cos ⁡ b + sin ⁡ b c o s ⁡ ( a ) . Assim:

f ' x = lim h → 0 ⁡   sin ⁡ 4 x cos ⁡ 4 h + sin ⁡ 4 h c o s ⁡ ( 4 x ) - s i n ⁡ ( 4 x ) h

Fatorando s i n ⁡ ( x ) :

f ' x = lim h → 0 ⁡   sin ⁡ 4 x cos ⁡ 4 h - 1 ) + sin ⁡ 4 h c o s ⁡ ( 4 x ) h

E agora, o que fazemos?

Passo 3

Sabemos pelas propriedades dos limites, que o limite da soma é a soma dos limites, logo:

lim h → 0 ⁡   sin ⁡ 4 x cos ⁡ 4 h - 1 ) + sin ⁡ 4 h c o s ⁡ ( 4 x ) h = lim h → 0 ⁡ sin ⁡ 4 x cos ⁡ 4 h ) - 1 h + lim h → 0 ⁡ sin ⁡ 4 h cos ⁡ 4 x h

E agora podemos fazer cada limite separadamente. Vamos lá?!

Passo 4

Então, para o primeiro:

lim h → 0 ⁡ sin ⁡ 4 x cos ⁡ 4 h ) - 1 h

Veja se fizemos 0 = h teremos 0 0 , pois:

lim h = 0 ⁡ sin ⁡ 4 x cos ⁡ 4 h ) - 1 h = sin ⁡ 4 x 1 - 1 0 = 0 0

Então podemos aplicar outra sacada genial dos limites: A regra de l’hospital!! Então derivando em cima e embaixo:

lim h → 0 ⁡ sin ⁡ 4 x cos ⁡ 4 h ) - 1 h = lim h → 0 ⁡ d d h sin ⁡ 4 x cos ⁡ 4 h ) - 1 d d h ( h )

Que é, portanto:

lim h → 0 ⁡ d d h sin ⁡ 4 x cos ⁡ 4 h ) - 1 d d h h = lim h → 0 ⁡ sin ⁡ 4 x - 4 sin ⁡ 4 h 1

E agora sim se fizermos 0 = h temos

lim h = 0 ⁡ sin ⁡ 4 x - 4 sin ⁡ 4 h 1 = 0

Então essa primeira parte do limite nos dá resultado 0 . Mas e o segundo? Se o segundo limite der 0 significa que a derivada de s i n ⁡ ( 4 x ) é 0 , né? Será isso?

Assim:

lim h → 0 ⁡ sin ⁡ 4 h cos ⁡ 4 x h

Da mesma forma, veja que se fizermos h = 0 teremos 0 0 :

lim h = 0 ⁡ sin ⁡ 0 cos ⁡ 4 x 0 = 0 0

E quando temos uma indeterminação significa que novamente podemos usar a regra de l’hospital

Então derivando em cima e embaixo:

lim h = 0 ⁡ d d h sin ⁡ 4 h cos ⁡ 4 x d d h h = lim h → 0 ⁡ cos ⁡ 4 x 4 cos ⁡ 4 h 1

Agora sim temos que se h = 0 :

lim h → 0 ⁡ cos ⁡ 4 x 4 cos ⁡ 40 1 = 4 cos ⁡ x

E achamos o valor do nosso segundo limite.

Agora que achamos tudo, vamos ver como ficou nossa derivada?

MAS ANTES... Você pode estar se perguntando: “Por que essa regra de l’hospital é verdade?” A Regra de L’hopital simplesmente nos diz que o limite de um quociente é igual ao limite do quociente de suas derivadas, desde que as hipóteses do teorema sejam satisfeitas, que é a indeterminação. Aliás, isso que fizemos na demonstração do passo 1 quando falamos da definição de limite. Nós não sabemos o valor de uma função no ponto, mas que sua derivada está lá. E se no ponto é indeterminado, se a derivada no ponto existir então a função existe no ponto. Sacou?

Passo 5

Assim, vemos que:

f ' x = lim h → 0 ⁡ sin ⁡ 4 x cos ⁡ 4 h ) - 1 h + lim h → 0 ⁡ sin ⁡ 4 h cos ⁡ 4 x h

E achamos que:

f ' x = 0 + 4 cos ⁡ 4 x

Logo concluímos que a derivada de f x = sin ⁡ 4 x é f ' x = 4 cos ⁡ 4 x . Viu só?

E terminamos por aqui. Camarada. Obrigado por ter vindo até aqui comigo. Até a próxima!

Resposta

y ' = 4 cos ⁡ 4 x

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