Determine a derivada das funções abaixo

n )   f x = x 3 cos ⁡ x ( 3 + ln ⁡ x + s e n   x )

Passo 1

Oi, pessoal, tudo bem?

Essa questão parece complicada, mas vou ajudar você aqui! Bora lá?

O problema deu essa função aqui

f x = x 3 cos ⁡ x ( 3 + ln ⁡ x + s e n   x )

E pediu a derivada!

Nós já aprendemos como calcular a derivada do produto de DUAS funções, mas e de três?

É bem tranquilo! É seguir o mesmo raciocínio da regra do produto com duas: deriva a primeira, copia as outras, deriva a do meio, copia as outras, deriva a terceira, copia as outras...

Vamos com um exemplo!

Vamos supor o produto de três funções ( f g h ) então a derivada disso fica assim:

f g h ' = f ' g h + g ' f h + h ' f g

Vamos supor que nossa função seja ( x 2 s e n   x l n   x ) , então a derivada disso é:

x 2 s e n   x ln ⁡ x ' = 2 x s e n x ln ⁡ x + x 2 c o s x ln ⁡ x + x 2 s e n x 1 x

Podemos simplificar apenas o último termo:

x 2 s e n x ln ⁡ x ' = 2 x s e n   x ln ⁡ x + x 2 cos ⁡ x ln ⁡ x + x   s e n   x

Então a ideia aqui é identificar essas três funções na função que queremos derivar, fazer as derivadas e simplificar o que der.

Beleza?

Mas calma, vou fazer passo a passo com você

Passo 2

Nossa função é essa aqui

f x = x 3 cos ⁡ x ( 3 + ln ⁡ x + s e n   x )

E podemos dizer que é o produto de três funções:

x 3

cos ⁡ x

3 + ln ⁡ x + s e n   x

Assim, aplicando a regra do produto temos o seguinte:

f ' x = x 3 ' . cos ⁡ x . 3 + ln ⁡ x + s e n   x + cos ⁡ x ' . x 3 . 3 + ln ⁡ x + s e n   x + 3 + ln ⁡ x + s e n   x ' . x 3 . cos ⁡ x

Fazendo as derivadas

f ' x = 3 x 2 . cos ⁡ x . 3 + ln ⁡ x + s e n   x - s e n   x . x 3 . 3 + ln ⁡ x + s e n   x + 1 x + cos ⁡ x . x 3 cos ⁡ x

Tranquilo?

Passo 3

E nosso resultado fica assim, só reorganizando os termos:

f ' x = 3 x 2 cos ⁡ x 3 + ln ⁡ x + s e n   x - x 3 s e n   x 3 + ln ⁡ x + s e n   x + x 3 cos ⁡ x 1 x + cos ⁡ x

Fica essa coisa enorme, mas é isso mesmo! O raciocínio é o mesmo da derivada do produto de duas funções: deriva uma, multiplica pelas outras..., soma, deriva a outra e multiplica as demais, faz assim até derivar pelo menos uma vez todas as partes da função

Beleza?

Espero ter ajudado!

Até a próxima!

Resposta

f ' x = 3 x 2 cos ⁡ x 3 + ln ⁡ x + s e n   x - x 3 s e n   x 3 + ln ⁡ x + s e n   x + x 3 cos ⁡ x 1 x + cos ⁡ x

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