4. Encontre a derivada dada, encontrando as primeiras derivadas e observando o padrão que ocorre.

  1. d 999 d x 999 cos ⁡ x

Passo 1

Oi, galerinha! Tudo bom? O enunciado pede para calcularmos

d 999 d x 999 cos ⁡ x

Isso significa derivar a função cos ⁡ x 99 vezes. Poder, a gente até pode fazer isso, mas vai demorar muito tempo né.

Então vamos usar uma ajudinha que o próprio enunciado deu. Ele nos disse para encontrarmos as primeiras derivadas e observarmos um padrão.

Então bora fazer isso!

Passo 2

Fazendo as primeiras derivadas ficamos com,

0 :   y = cos ⁡ x

1 : y ' = - sin ⁡ x

2 : y ' ' = - c o s ⁡   x

3 : y ' ' ' = sin ⁡ x

4 : y 4 = cos ⁡ x

5 : y 5 = - sin ⁡ x

. . .

Repara que a partir da quarta derivada, tudo volta a ser repetir. Então encontramos um padrão, onde a função se repete a cada ciclo de 4 .

Então para saber qual é a derivada 999 , vamos dividir esse valor por 4 .

O nosso resultado é 249 e o resto é 3 . Agora vamos interpretar isso!

Para chegar na derivada 999 , foram repetidos 249 ciclos, mais 3 . Ou seja, o nosso resultado é o mesmo da derivada número 3 .

Logo, se tínhamos que

3 : y ' ' ' = sin ⁡ x

Temos que,

d 999 d x 999 cos ⁡ x = sin ⁡ x

Prontinho! Mas, galerinha, se vc quiser tirar uma prova real. Pega uma derivada de ordem menor e calcula a derivada até lá. Depois pega a ordem da derivada e divide por 4 , veja qual é o resto. Através do valor do resto, olha para o padrão que resolvemos e ve se bate. Belezinha?

Resposta

d 999 d x 999 cos ⁡ x = sin ⁡ x

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Em cada item, determine onde f é diferenciável.f (x) = cos sec x
(d) Use a Fórmula (3) para obter (8).
Deduza a Fórmula (4) usando a definição de uma derivada.
Em cada item, determine onde f é diferenciável.f (x) = c o t g x