8. Mostre que a função

f x = x 2 sin ⁡ 1 x ,   s e   x ≠ 0 0 ,     s e   x = 0

É diferenciável em x = 0 e de o valor de f ' 0 .

Passo 1

Oi, galerinha! Tudo bom? Aqui temos que verificar que a função é diferenciável em x = 0 . E nossa função tem essa cara aqui,

f x = x 2 sin ⁡ 1 x ,   s e   x ≠ 0 0 ,     s e   x = 0

Então, galerinha, o que muda nessa função é somente o ponto x = 0 . Quando isso acontecer, basta testar a continuidade da função no ponto em que ela muda de expressão. Se ela for continua nesse ponto, será derivável ali e como a outra expressão é derivável sempre a f será derivável em todo o lugar.

E para verificar se f é continua em x = 0 , precisamos verificar se o limite de x → 0 é igual a função no ponto, ou seja, temos que verificar se

lim x → 0 ⁡ f x = f 0

Bora lá!

Passo 2

Pela função temos que

f 0 = 0

Agora precisamos verificar se o limite de x → 0 também irá zerar,

lim x → 0 ⁡ x 2 sin ⁡ 1 x

Repara que esse limite a gente não consegue calcular direto, pois temos um sin ⁡ 1 x . Mas, lembra que toda função seno é uma função limitada entre - 1 e + 1 ,

- 1 ≤ sin ⁡ 1 x ≤ + 1

Então, vamos aplicar o Teorema do Confronto para achar esse limite!

Passo 3

Para quem não lembra, o Teorema diz o seguinte: se você quer calcular o limite de h ( x ) para x → a e temos que:

f ( x ) ≤ h ( x ) ≤ g ( x )

Ou seja, h ( x ) está entre f ( x ) e   g ( x ) . Se vc quiser poderia jogar o limite em tudo, assim:

lim x → a ⁡ f x ≤ lim x → a ⁡ h x ≤ lim x → a ⁡ g x

Se, por acaso, tivermos que:

lim x → a ⁡ f x = lim x → a ⁡ g x = L

Então,

lim x → a ⁡ h x = L

Pois h ( x ) está entre as duas outras funções.

Aplicando, vimos que,

- 1 ≤ sin ⁡ 1 x ≤ + 1

Mas a nossa função é x 2 sin ⁡ 1 x , então vamos multiplicar x 2 em tudo,

- x 2 ≤ x 2 sin ⁡ 1 x ≤ + x 2

Agora vamos calcular o limite de x → 0

lim x → 0 ⁡ - x 2 ≤ lim x → 0 ⁡ x 2 sin ⁡ 1 x ≤ lim x → 0 ⁡ x 2

Como temos que,

lim x → 0 ⁡ - x 2 = lim x → 0 ⁡ + x 2 = 0

Temos que,

lim x → 0 ⁡ x 2 sin ⁡ 1 x = 0

Prontinho!

Passo 4

Voltando para a nossa continuidade! Queriamos verificar que,

lim x → 0 ⁡ f x = f 0

E vimos, que

lim x → 0 ⁡ x 2 sin ⁡ 1 x = f 0 = 0

Logo, a nossa função é contínua e diferenciavel em x = 0 .

Passo 5

Por fim, também temos que dar o de f ' 0

Como no ponto x = 0 , a nossa função tem essa cara

f x = 0

Derivando ficamos com,

f ' x = 0

Logo,

f ' 0 = 0

Resposta

  • A função é derivável em x = 0
  • f ' 0 = 0

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