USP – Álgebra Linear – P2 2019 – Questão 2
Considere o ponto e o plano , definido por
Então, a distância do ponto ao plano é igual a
a)
b)
c)
d)
e)
Passo 1
E aíí pessoal, tudo certinho? Vamos lá que essa questão vai ser sobre distâncias!
Temos o plano , definido assim:
E o ponto
E aí queremos encontrar a distância entre eles
Caaalma que é tranquilo. Tendo um plano de equação geral e um ponto , a distância entre eles vai ser:
O maior problema aqui é que ele não deu a equação geral do plano. Ele deu as equações paramétricas. Mas calma que é só encontrarmos o vetor normal desse plano e um ponto que ele passa. Aí conseguimos ter a equação geral, vamos lá?
Passo 2
Se um plano passa pelo ponto e tem vetores diretores e , suas equações paramétricas vão ser
Mas olha só, as equações do nosso plano são
Comparando com a equação ali de cima, podemos falar que nosso plano passa pelo ponto e vetores diretores e
Para escrevermos a equação geral do plano , precisamos do vetor normal e um ponto que esse plano passa. O ponto já temos! Mas e o vetor normal?
O vetor normal é o produto vetorial dos vetores diretores:
Então vamos lá!
Passo 3
O vetor normal do plano vai ser dado por esse determinante:
Calculando o determinante:
Então, o vetor normal do plano é
Aí a equação geral do plano vai ter esse formato:
Como ele passa pelo ponto , podemos escrever
Então, a equação geral do plano vai ser
Passo 4
Showww, então temos um plano de equação
E o ponto . E aí queremos encontrar a distância entre eles.
Usando a fórmula do passo 1, essa distância vai ser
Podemos fatorar
Então:
Boaaa! A alternativa correta é a letra C 😊
Resposta
c)