Exercícios Resolvidos de Distância entre Ponto e Plano

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Enunciado

A distância do ponto P = ( 1,2 , 3 ) ao plano

π :   x =   - 1 - λ + μ y = 2 + λ + μ           z = - 2 + 2 λ - μ ,         λ , μ ∈ R

É igual a:

a ) 16 14

b )   14

c ) 16 12

d ) 20 14

e ) 4 14

Passo 1

Falaaa, blz?? Bora para mais um probleminha, agora envolvendo distância de ponto ao plano.

Bom, para começar vamos escrever uma fórmula para calcular essa distância e depois disso pensar no que precisamos fazer.

Se tivermos um plano π : a x + b y + c z = d , e P = ( x 0 , y 0 , z 0 ) , dizemos que:

d P , π = a x 0 + b y 0 + c z 0 - d a 2 + b 2 + c 2

Passo 2

Agora temos que achar uma forma de aplicar essa fórmula, para fazermos isso temos que sair da equação do plano dada e chegar em alguma equação da forma a x + b y + c z = d , lembrando que nesse caso temos que n → = a , b , c ⊥ π

Para isso, vale lembrar que quando escrevemos

π :   x =   - 1 - λ + μ y = 2 + λ + μ           z = - 2 + 2 λ - μ ,         λ , μ ∈ R

Podemos tirar algumas informações, a primeira é A = ( - 1,2 , - 2 ) ∈ π

v 1 = - 1,1 , 2     e     v 2 = 1,1 , - 1   s ã o   p a r a l e l o s   a   π

Agora, se temos dois vetores paralelos ao plano e nosso objetivo é achar um vetor normal ao plano (para escrevermos da forma que queremos) podemos usar uma ideia, consegue lembrar?

n → = v 1 × v 2   é   p e r p e n d i c u l a r   a   v 1   e   v 2 →   n → ⊥ π

n → =   i j k - 1 1 2 1 1 - 1 = - 3,1 , - 2

Ou seja, nossa equação do plano é do tipo:

- 3 x + y - 2 z = d

Usando que A = - 1,2 , - 2 ∈ π →   - 3 - 1 + 2 - 2 - 2 = d ∴ d = 9

Logo, temos que:

π :   - 3 x + y - 2 z = 9

Passo 3

Agora é correr para o abraço, bora aplicar na fórmulinha:

d P , π = a x 0 + b y 0 + c z 0 - d a 2 + b 2 + c 2 = - 3 1 + 2 - 2 3 - 9 - 3 2 + 1 2 + - 2 2 =     - 16 14 = 16 14

E assim chegamos ao final de outra questão, bora para o próximo?

Resposta

Letra A

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Mostre que a distância entre os planos paralelos a x + b y + c z + d 1 = 0 e a x + b y + c z + d 2 = 0 é D = | d 1 - d 2 | a 2 + b ² + c ² ² ²
Determine a distância entre os planos paralelos dados. z = x + 2 y + 1 ;3 x + 6 y - 3 z = 4
Determine a distância entre os planos paralelos dados. 3 x + 6 y - 9 z = 4 , x + 2 y - 3 z = 1
Determine as equações dos planos que são paralelos ao plano x + 2 y - 2 z = 1 e que distam duas unidades dele.
Determine a distância do ponto ao plano dado.(3 , - 2,7) , 4 x - 6 y + z = 5