USP, 2018.1, P2, Questão 4
Seja o ponto simétrico de em relação ao plano
Então é igual a:
Passo 1
Falaaa ai, blz???? Vamos começar essa questão achando a equação desse plano do tipo
Para isso basta “sumir” com , dai ficará apenas x y e z relacionados. Basta pensar que é interseção das 3 equações.
Da última equação temos que , substituindo na primeira equação:
Substituindo na segunda equação:
Devemos lembrar que quando temos um plano do tipo o vetor é normal ao plano. Logo, podemos concluir que é perpendicular a .
Passo 2
Agora vamos achar a reta que liga o ponto P ao seu ponto simétrico P’. Quando pensamos nessa reta, como P e P’ são simétricos em relação ao plano , a reta que liga esses dois pontos é perpendicular ao plano, ou seja, o vetor está na direção da reta que nos interessa.
Então se essa reta é paralela ao vetor (1,1,3) e sabemos que P pertence à reta, ela é do tipo:
Vamos fazer a interseção dessa reta com o plano, com isso iremos achar o ponto médio entre P e P’ e consequentemente achar P’.
Logo o ponto de interseção do plano com a reta é
Passo 3
Mas como foi dito, Q é o ponto médio entre P e P’, tomando
Logo:
Daqui tiramos que