Exercícios Resolvidos de Distância entre Ponto e Reta

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Enunciado

Dados o ponto P = ( - 1 ,   1 ,   - 2 ) e a reta r : X = 3,0 , - 3 + λ ( 1 , - 1 , - 1 ) .

  1. Escreva uma equação vetorial para a reta l perpendicular a r que contém P .
  2. Determine as coordenadas de todos os pontos R ∈ r que distam 3 de P .

Passo 1

  1. Bom, galera, a reta l intersecta r no ponto P ' , que é a projeção ortogonal de P sobre r . Para encontrar P ' , vamos pegar A = 3,0 , - 3 ∈ r e projetar o vetor A P → sobre o vetor diretor de r , que é v → = ( 1 , - 1 , - 1 ) , pra obtermos A P ' → .
  2. A P → = P - A = - 4,1 , 1

    Agora vamos usar aquela fórmula de projeção de um vetor no outro:

    A P ' → = P r o j v → A P → = A P → ⋅ v → v → 2 v →

    A P ' → = - 4,1 , 1 ⋅ 1 , - 1 , - 1 3 2 1 , - 1 , - 1

    A P ' → = - 2 1 , - 1 , - 1

    A P ' → = ( - 2,2 , 2 )

    Pra achar P ' é só fazer uma soma vetorial:

    P ' = A + A P ' →

    P ' = 3,0 , - 3 + - 2,2 , 2

    P ' = 1,2 , - 1

    Como a reta l é paralela a P P ' , seu vetor diretor é ( 2,1 , 1 ) , e assim, a equação será:

    l : X = - 1,1 , - 2 + λ ( 2,1 , 1 )

    Passo 2

  3. Se liga, vamos fazer assim: encontramos a expressão de um ponto qualquer de r e fazemos a distância desse ponto até P ser igual a 3 .

r : X = 3,0 , - 3 + λ 1 , - 1 , - 1

Então um ponto qualquer de r é descrito por:

R = ( 3 + λ , - λ , - 3 - λ )

A distância até o ponto P = ( - 1,1 , - 2 ) é dada por:

d P R = 3 + λ - - 1 2 + - λ - 1 2 + - 3 - λ - - 2 2

d P R = λ + 4 2 + - λ - 1 2 + - λ - 1 2 = 3

Elevando ao quadrado e desenvolvendo:

λ 2 + 8 λ + 16 + λ 2 + 2 λ + 1 + λ 2 + 2 λ + 1 = 9

3 λ 2 + 12 λ + 9 = 0

λ 2 + 4 λ + 3 = 0

Daqui, encontramos λ = - 1 ou λ = - 3 .

Portanto, os dois pontos R possíveis são:

λ = - 1 :   R 1 = 2,1 , - 2

λ = - 3 : R 2 = ( 0,3 , 0 )

Resposta

a) l : X = - 1,1 , - 2 + λ ( 2,1 , 1 )

b) R 1 = 2,1 , - 2   e   R 2 = ( 0,3 , 0 )

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