Calcule o limite abaixo, justificando sua resposta:

lim x → 0 ⁡ cos ⁡ x 2 - 1 x ∙ sin ⁡ 1 x

Passo 1

Quando a gente olha pra esse limite a gente já se assusta, não é mesmo? Mas caaaalma que vai dar tudo certo. A primeira coisa a se fazer é olhar bem pra essa função maluca:

cos ⁡ x 2 - 1 x ∙ sin ⁡ 1 x

Saca só, nessa função temos termos s i n e c o s . A primeira coisa a se notar é que:

lim x → 0 ⁡ sin ⁡ 1 x

É um limite que não existe, porque isso daria sin ⁡ ∞ , o que não é possível em uma função oscilatória. Então, da propriedade do limite:

lim x → 0 ⁡ cos ⁡ x 2 - 1 x ∙ sin ⁡ 1 x = lim x → 0 ⁡ cos ⁡ x 2 - 1 x ∙ lim x → 0 ⁡ sin ⁡ 1 x

Vamos tentar inicialmente olhar só pro primeiro limite e ver o que a gente descobre sobre ele beleza? Partiu calcular então:

lim x → 0 ⁡ cos ⁡ x 2 - 1 x

Passo 2

Pra calcular esse limite a gente vai ter que dar uma manipulada. Porque? Porque se conseguirmos escrever ele como algo parecido ao limite fundamental trigonométrico:

lim x → 0 ⁡ sin ⁡ x x = 1

Ai sim resolvemos o problema! Então vamos lá. A primeira coisa que a gente tem que notar é que em:

lim x → 0 ⁡ cos ⁡ x 2 - 1 x

Não tem senos! Então bora arranjar senos. Da relação trigonométrica mãe:

sin 2 ⁡ x + cos 2 ⁡ x = 1

Tiramos:

sin 2 ⁡ x 2 + cos 2 ⁡ x 2 = 1

sin 2 ⁡ x 2 = 1 - cos 2 ⁡ x 2

- sin 2 ⁡ x 2 = cos 2 ⁡ x 2 - 1

O que ainda não é exatamente o que tá escrito no nosso limite, mas veja bem, se a gente multiplicar pelo conjugado, olha como fica:

lim x → 0 ⁡ cos ⁡ x 2 - 1 x = lim x → 0 ⁡ cos ⁡ x 2 - 1 cos ⁡ x 2 + 1 x cos ⁡ x 2 + 1

lim x → 0 ⁡ cos ⁡ x 2 - 1 x = lim x → 0 ⁡ cos 2 ⁡ x 2 - 1 x cos ⁡ x 2 + 1

Agora sim dá bom! Substituindo então:

lim x → 0 ⁡ cos ⁡ x 2 - 1 x = lim x → 0 ⁡ - sin 2 ⁡ x 2 x cos ⁡ x 2 + 1

Agora que apareceu o seno, vamos ver o quão diferente ele está do limite fundamental: o seno está ao quadrado e o x no seu interior também. Pra ter mais a cara do limite fundamental trigonométrico, vamos então multiplicar em cima e em baixo por x , beleza? Saca só:

lim x → 0 ⁡ - sin 2 ⁡ x 2 x cos ⁡ x 2 + 1 = lim x → 0 ⁡ - x sin 2 ⁡ x 2 x 2 cos ⁡ x 2 + 1

E vamos separar esse produto feio de funções em menores pra gente se entender melhor. Dá uma olhada:

lim x → 0 ⁡ - x sin 2 ⁡ x 2 x 2 cos ⁡ x 2 + 1 = lim x → 0 ⁡ sin ⁡ x 2 x 2 ∙ lim x → 0 ⁡ - x sin ⁡ x 2 ∙ lim x → 0 ⁡ 1 cos ⁡ x 2 + 1

Agora, calculando cada um dos limites menores, temos o primeiro

lim x → 0 ⁡ sin ⁡ x 2 x 2 = lim u → 0 ⁡ sin ⁡ u u = 1

Que nada mais é do que o limite fundamental trigonométrico disfarçado e os outros vão ser:

lim x → 0 ⁡ - x sin ⁡ x 2 = - 0 sin ⁡ 0 2 = 0

lim x → 0 ⁡ 1 cos ⁡ x 2 + 1 = 1 1 + 1 = 1 2

O limite no final das contas fica:

lim x → 0 ⁡ cos ⁡ x 2 - 1 x = lim x → 0 ⁡ sin ⁡ x 2 x 2 ∙ lim x → 0 ⁡ - x sin ⁡ x 2 ∙ lim x → 0 ⁡ 1 cos ⁡ x 2 + 1

lim x → 0 ⁡ cos ⁡ x 2 - 1 x = 1 ∙ 0 ∙ 1 2 = 0

Passo 3

Pra gente fechar e partir pro abraço, vamos lembrar do enunciado e do passo 1 :

lim x → 0 ⁡ cos ⁡ x 2 - 1 x ∙ sin ⁡ 1 x = lim x → 0 ⁡ cos ⁡ x 2 - 1 x ∙ lim x → 0 ⁡ sin ⁡ 1 x

Como:

lim x → 0 ⁡ cos ⁡ x 2 - 1 x = 0

Apesar do limite:

lim x → 0 ⁡ sin ⁡ 1 x

Não existir, a resposta do enunciado vai ser então:

lim x → 0 ⁡ cos ⁡ x 2 - 1 x ∙ sin ⁡ 1 x = 0

Podemos garantir esse resultado se a gente aplicar o teorema do confronto, olha só:

- 1 ≤ sin ⁡ 1 x ≤ 1

- cos ⁡ x 2 - 1 x ≤ cos ⁡ x 2 - 1 x ∙ sin ⁡ 1 x ≤ cos ⁡ x 2 - 1 x

- lim x → 0 ⁡ cos ⁡ x 2 - 1 x ≤ lim x → 0 ⁡ cos ⁡ x 2 - 1 x ∙ sin ⁡ 1 x ≤ lim x → 0 ⁡ cos ⁡ x 2 - 1 x

0 ≤ lim x → 0 ⁡ cos ⁡ x 2 - 1 x ∙ sin ⁡ 1 x ≤ 0

lim x → 0 ⁡ cos ⁡ x 2 - 1 x ∙ sin ⁡ 1 x = 0

Resposta

lim x → 0 ⁡ cos ⁡ x 2 - 1 x ∙ sin ⁡ 1 x = 0

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