Calcule o seguinte limite, sem usar a regra de L’Hôpital:

lim x → π ⁡ 1 - sen ⁡ x / 2 π - x

Passo 1

A primeira coisa a fazer é substituir o ponto do limite: lim x → π ⁡ 1 - sen ⁡ x / 2 π - x = 1 - 1 π - π = 0 0

Ops! Temos uma indeterminação, então precisamos manipular nosso limite para chegar no resultado.

Passo 2

Temos aí um seno num numerador tendendo a zero sobre um polinômio também tendendo a zero. Esse limite parece um limite envolvendo o limite fundamental trigonométrico, então vamos tentar chegar nele.

Vamos inicialmente tentar deixar o que está dentro do seno parecido com o que está no denominador:

sen ⁡ x 2 = cos ⁡ x - π 2

Se multiplicarmos e dividirmos por 2 :

lim x → π ⁡ 2 1 - sen ⁡ x / 2 2 π - x = 1 2 l i m x → π 1 - cos ⁡ x - π 2 π - x 2

Passo 3

Agora que o que está dentro do cosseno é igual ao denominador, podemos fazer a substituição:

u = x - π 2

Que é justamente o que está dentro do cosseno. Nessas condições, quando x → π , u → 0 , ficando:

1 2 l i m x → π 1 - cos ⁡ x - π 2 π - x 2 = 1 2 l i m u → 0 1 - cos ⁡ u u

Passo 4

Está bem, mas precisamos transformar isso no limite: lim u → 0 ⁡ sen ⁡ u u = 1

Para tal, podemos explorar o fato de que:

1 - cos 2 ⁡ u = sen 2 ⁡ u

E multiplicar e dividir tudo por 1 + cos ⁡ u para chegar nessa identidade: 1 2 l i m u → 0 1 - cos ⁡ u u ⋅ 1 + cos ⁡ u 1 + cos ⁡ u = 1 2 l i m u → 0 1 - cos 2 ⁡ u u 1 + cos ⁡ u = 1 2 l i m u → 0 sen 2 ⁡ u u 1 + cos ⁡ u

Passo 5

Agora podemos chegar no limite fundamental trigonométrico:

1 2 l i m u → 0 sen 2 ⁡ u u 1 + cos ⁡ u = 1 2 lim u → 0 ⁡ sen ⁡ u u ⋅ l i m u → 0 sen ⁡ u 1 + cos ⁡ u = 1 2 ⋅ 1 ⋅ 0 2 = 0

Pronto!

Resposta

lim x → π ⁡ 1 - sen ⁡ x / 2 π - x = 0

Exercícios de Livros Relacionados

Calcule.underset(x - 0)(lim) x sen (1)/(x)
Calcule.underset(x - 0)(lim) (tg x)/(x)
Calcule.underset(x - p)(lim) (sen (x^2 - p^2))/(x - p)
Calcule.underset(x - p)(lim) (tg (x - p))/(x^2 - p^2) , p != 0
Calcule.underset(x - 0)(lim) (x - tg x)/(x + tg x)