Determine se existem ou não os seguintes limites. Em caso afirmativo, calcule o seu valor. (Justifique)! (NÃO é permitido o uso da regra de L’Hospital).

  1. lim x → 0 ⁡ cos ⁡ x - 1 x 2

Passo 1

Sempre vamos começar uma questão de limites substituindo o valor que x tende, para verificarmos se há uma indeterminação ou não. Somente depois de verificado é que podemos discutir o que fazer. Portanto,

lim x → 0 ⁡ cos ⁡ x - 1 x 2 = cos ⁡ 0 - 1 0 = 1 - 1 0 = 0 0

Agora sim. Temos uma indeterminação. Isto significa que o ponto x = 0 é uma raiz tanto do numerador quanto do denominador! Cabe a nós arrumarmos alguma forma de eliminarmos estas raízes.

PS: Imagina agora que não deu uma indeterminação. Algo tipo 0 / 2 . Vocês já comemorariam pois finalizariam a questão neste ponto, nada mais seria feito. Mas como isso não aconteceu... segue o jogo!

Dentre as possíveis opções para eliminarmos estas raízes (isolar variáveis, fatorar polinômios, multiplicar pelo conjugado, etc), o caso que bem se enquadra nesta questão é multiplicar o numerador e o denominador por algum fator (são iguais).

Ao fazermos isto, conseguimos manipular o nosso limite e assim eliminarmos essa indeterminação.

Portanto, para esta letra, vamos começar por multiplicar pelo conjugado do numerador (ao invés do sinal negativo, temos um sinal positivo). Portanto,

lim x → 0 ⁡ cos ⁡ x - 1 x 2 ⋅ cos ⁡ x + 1 cos ⁡ x + 1 = lim x → 0 ⁡ cos 2 ⁡ x - 1 x 2 ⋅ cos ⁡ x + 1

Passo 2

Percebam que se substituirmos, ainda continuamos com 0/0. Vejamos só:

lim x → 0 ⁡ cos 2 ⁡ x - 1 x 2 ⋅ cos ⁡ x + 1 = cos 2 ⁡ 0 - 1 0 2 ⋅ cos ⁡ 0 + 1 = 1 - 1 0 ⋅ 1 + 1 = 0 0

Então, temos que continuar operando a nossa função para eliminar esta indeterminação.

Agora, lembram daquela relação fundamental da trigonometria sen 2 ⁡ x + cos 2 ⁡ x = 1 ? Vamos utilizá-la para substituir cos 2 ⁡ x - 1 por - sen 2 ⁡ x . Portanto,

lim x → 0 ⁡ cos 2 ⁡ x - 1 x 2 ⋅ cos ⁡ x + 1 = lim x → 0 ⁡ - sen 2 ⁡ x x 2 ⋅ cos ⁡ x + 1

Agora, será se a indeterminação já foi resolvida? Vamos verificar novamente!

lim x → 0 ⁡ - sen 2 ⁡ x x 2 ⋅ cos ⁡ x + 1 = - sen 2 ⁡ 0 0 2 ⋅ cos ⁡ 0 + 1 = 0 0

Ainda não foi resolvido..... Mas estamos quase lá! Basta reorganizarmos o nosso limite. Utilizando as propriedades (separar no produto de limites), temos:

lim x → 0 ⁡ - sen 2 ⁡ x x 2 ⋅ cos ⁡ x + 1 = lim x → 0 ⁡ - 1 ⋅ sen 2 ⁡ x x 2 ⋅ 1 cos ⁡ x + 1

lim x → 0 ⁡ - 1 ⋅ sen ⁡ x x 2 ⋅ 1 cos ⁡ x + 1 = lim x → 0 ⁡ - 1 ⋅ lim x → 0 ⁡ sen ⁡ x x 2 ⋅ lim x → 0 ⁡ 1 cos ⁡ x + 1

- 1 ⋅ lim x → 0 ⁡ sen ⁡ x x 2 ⋅ lim x → 0 ⁡ 1 cos ⁡ x + 1

Aqui nós trabalhamos com as propriedades do limite para separarmos as nossa funções. Este passo é fundamental pra ficar bem claro o limite lim x → 0 ⁡ sen ⁡ x x = 1 . Este é um dos limites fundamentais que vocês podem (e devem) decorar a resposta.

Então, se a gente separa, fica claro a resolução da indeterminação do nosso problema. Agora, podemos resolver nosso limite. Portanto, a nossa resposta é:

lim x → 0 ⁡ - sen 2 ⁡ x x 2 ⋅ cos ⁡ x + 1 = - 1 ⋅ lim x → 0 ⁡ sen ⁡ x x 2 ⋅ lim x → 0 ⁡ 1 cos ⁡ x + 1 = - 1 ⋅ 1 2 ⋅ 1 cos ⁡ 0 + 1

- 1 ⋅ 1 ⋅ 1 1 + 1 = - 1 2

E assim resolvemos a nossa questão! Percebam que nos só fizemos reorganizar a função para eliminar a indeterminação!

Resposta

lim x → 0 ⁡ cos ⁡ x - 1 x 2 = - 1 2

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Calcule.underset(x - 0)(lim) x sen (1)/(x)
Calcule.underset(x - 0)(lim) (tg x)/(x)
Calcule.underset(x - p)(lim) (sen (x^2 - p^2))/(x - p)
Calcule.underset(x - p)(lim) (tg (x - p))/(x^2 - p^2) , p != 0
Calcule.underset(x - 0)(lim) (x - tg x)/(x + tg x)