A aproximação linear da função , no ponto de referência , é:
Determine o ponto de referência.
Passo 1
Opa, temos um exercício um pouco diferente aqui. Ele nos deu a aproximação linear e quer o ponto de referência. Vamos fazer a aproximação linear para um ponto qualquer e vamos comparar com essa aproximação que ele deu.
Passo 2
Para fazermos a aproximação linear precisamos da função , da sua derivada e do ponto de referência .
Primeiro vamos achar a derivada dessa parada
Assim nossa aproximação linear vai ser:
Trocando os valores de e temos:
Arrumando isso temos:
Passo 3
Vamos agora comparar isso que achamos com o que ele deu:
Para isso ser sempre igual devemos ter:
A segunda equação é impossível de resolver na mão, então vamos nos preocupar em resolver a primeira, e depois só verificar com a segunda.
Temos:
Lembra da relação entre secante e tangente?
Assim vamos ter, na nossa equação:
Colocando em evidência, vamos ter:
Assim vamos ter duas equações:
E:
Onde e são inteiros.
Resolvendo essas equações logarítmicas:
Passo 4
Achamos os possíveis valores de pela primeira equação, a parada agora é substituir esses valores na segunda equação e ver quais deles que servem para nós.
Substituindo o primeiro valor de , :
Nessa situação a secante de algum múltiplo inteiro de pode ser ou , mas como a secante está ao quadrado:
Assim temos:
E achamos um dos possíveis pontos de referência:
Passo 5
Para outra solução de , qual o valor de que serve nessa parada?
Substituindo o segundo valor de , , vamos ter:
Passo 6
Observa que
Além disso,
Portanto,
Só pode assumir dois valores ou . Como no nosso exercício ela está elevada ao quadrado, não faz diferença, vamos ter que
Passo 7
Assim, temos que
Queremos os valores de , então vou aplicar dos dois lados, vem comigo
Portanto, nosso outro ponto de referência será