Responde Aí
Acesse com GoogleAcesse com AppleAcesse com Facebook

Exercícios Resolvidos de Aproximação Linear

Ver Teoria
Exercício 3124567891011121314151617

Enunciado

Considere a curva definida pela equação x 6 + y 6 + 8 x y + 6 = 0 . Calcule y ' e encontre a aproximação linear à curva no ponto 1 , - 1 .

Passo 1

Temos ali uma função implícita. Para fazer a aproximação linear (que é a reta tangente à curva) no ponto 1 , - 1 precisamos do valor de y ' 1 , - 1 , para o qual precisamos da fórmula implícita de y ' . Para isso, vamos derivar implicitamente o termo pelas Regras do Produto e da Cadeia:

x 6 ' + y 6 ' + 8 x y ' + 6 ' = 0 '

6 x 5 + 6 y 5 y ' + 8 x ' y + 8 x y ' + 0 = 0

6 x 5 + 6 y 5 y ' + 8 y + 8 x y ' = 0

y ' 6 y 5 + 8 x = - 6 x 5 + 8 y

y ' = - 6 x 5 + 8 y 6 y 5 + 8 x

Eis o nosso y ' em função de x e de y .

Passo 2

A aproximação linear terá o formato:

y - y ( x 0 ) = y ' ( x 0 ) ( x - x 0 )

O ponto x 0 , y ( x 0 ) é o valor fornecido na questão:

x 0 , y ( x 0 ) = ( 1 , - 1 )

E y ' ( x 0 ) será o valor da implícita nesse ponto:

y ' = - 6 1 5 + 8 - 1 6 - 1 5 + 8 1

… = - 6 - 8 - 6 + 8 = - - 2 2

… = 1

Agora é substituir os valores:

y - y x 0 = y ' x 0 x - x 0 ⟹ y + 1 = 1 ( x - 1 )

y = x - 2

Que será nossa aproximação linear!

Resposta

y = x - 2

Exercícios de Livros Relacionados

Use uma aproximação linear local para estimar o valor da quantidade dada. a r c t g( 0,99 )
Use a aproximação linear (ou diferencial) para estimar o número dado. 100,5
Use a aproximação linear (ou diferencial) para estimar o número dado. e 0,1
Use a aproximação linear (ou diferencial) para estimar o número dado. cos ⁡ 29 °
Use uma aproximação linear (ou diferencial) para estimar o número dado. 1 4,002