USP, Álgebra Linear 2, P2-2017, Questão 01
02) Considere o espaço vetorial munido do produto interno definido por:
para quaisquer Se for o subespaço vetorial de dado por:
Então será igual a:
a) ;
b)
c)
d)
e)
Passo 1
Eaiiii gente, tudo bom com vocês?
Aqui temos uma questão bem interessante sobre complemento ortogonal. Basicamente, temos um produto interno definido no espaço vetorial da seguinte forma:
Dentro de há um subespaço vetorial composto pelas matrizes da seguinte forma:
O nosso objetivo é determinar o complemento ortogonal de , ou seja, (lê-se “ perp”). Tranquilo?!
Beleza! Mas, vocês lembram o que é o complemento ortogonal de um subespaço vetorial?
É um subespaço vetorial no qual todos os elementos são ortogonais a qualquer um dos elementos de , sacaram?
Puts, mas é muito complicado pegar cada elemento de e testar se ele é ortogonal a cada um dos elementos de , né?!
Verdade, isso seria impossível hahaha. É por isso que basta determinarmos uma base de que seja perpendicular à base de , sacaram?
Show!
Passo 2
Então, antes de tudo, precisamos determinar uma base para . Sabemos que, se , então:
Daí, pra descobrir base que gera esse subespaço devemos ir colocando as constantes em evidência e separando como soma de matrizes. Assim:
Colocando as constantes em evidência:
Ou seja, o conjunto:
gera o subespaço , resta saber se essas matrizes são . Como podemos verificar isso?
Uma opção é supormos que um dos elementos é combinação linear dos outros, e verificar se é possível determinar os coeficientes dessa combinação. Caso seja possível, os vetores são . Tipo:
Logo:
Daí, vemos que:
É solução do sistema. Ou seja, o conjunto é . Portanto, a nossa verdadeira base de é dada por:
Boaa, perfeito!
Passo 3
Agora que já encontramos a base de , precisamos determinar o subespaço . Como qualquer elemento desse subespaço é ortogonal às matrizes de , vamos supor que:
Assim, vale que:
Muito bom! Como o produto interno nesse espaço vetorial é definido por:
Vamos ter que:
De vem que:
Substituindo em temos:
Perfeito. Logo, a matriz é dada por:
Agora é só a gente usar a mesma ideia que utilizamos pra descobrir a base de . Como representa um elemento genérico de , a base que gera , também gera qualquer elemento de .
Colocando e em evidência:
Ou seja galera, quem são as matrizes que geram , e consequentemente gera qualquer elemento de ?
Aeeeee, prontinho! é justamente o subespaço vetorial gerado por .
Espero que vocês tenham entendido bem direitinho, até a próxima galera! 😉
Resposta
Letra C: