Exercícios Resolvidos de Complemento Ortogonal

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Enunciado

Seja V = M 2 × 2 o espaço vetorial das matrizes dois por dois com produto interno:

x 1 y 1 z 1 t 1 , x 2 y 2 z 2 t 2 = x 1 x 2 + 2 y 1 y 2 + 2 z 1 z 2 + t 1 t 2

Consideremos W = 1 0 1 0 , 0 1 0 - 1

(a) Determine W ⊥ (complemento ortogonal de W)

(b) Seja P W : V → V o operador projeção ortogonal em W. Determine P W x y z t .

Passo 1

(a) O complemento ortogonal do subespaço vetorial W vai ser o conjunto formado pelos elementos de V (ou seja, as matrizes dois por dois) que são ortogonais aos elementos de W.

Mais formalmente, vai ser o conjunto:

W ⊥ = x y z t ∈ V   |   x y z t , 1 0 1 0 = 0 ,   x y z t , 0 1 0 - 1 = 0

Pois vimos que quando o produto interno entre dois elementos de um conjunto é igual a zero, os elementos desse conjunto são ortogonais entre si!

Agora vamos usar o produto interno que o enunciado definiu para expandir as condições desse nosso conjunto W ⊥ .

Pela primeira condição, vamos ter:

x y z t , 1 0 1 0 = 0

x + 2 z = 0

Já pela segunda:

x y z t , 0 1 0 - 1 = 0

2 y - t = 0

Ou seja, temos o sistema linear:

x + 2 z = 0 2 y - t = 0

Isolando x na primeira equação e t na segunda, vamos ter:

x = - 2 z

t = 2 y

Então já podemos escrever agora os elementos de W ⊥ ! Eles vão ser da forma:

x y z t = - 2 z y z 2 y = - 2 z 0 z 0 + 0 y 0 2 y

x y z t = z - 2 0 1 0 + y 0 1 0 2

Logo:

W ⊥ = - 2 0 1 0 , 0 1 0 2

Passo 2

(b) O enunciado nos disse que:

W = 1 0 1 0 , 0 1 0 - 1

Usando a definição de produto interno dada, vemos que as matrizes de W são ortogonais, pois:

1 0 1 0 , 0 1 0 - 1 = 0

Como a base é ortogonal, a projeção ortogonal de uma matriz A no subespaço vetorial W vai poder ser feita fazendo:

P W ( A ) = A , W W , W W

Sendo:

A = x y z t

Usando a base de W dada, a matriz A que definimos acima e a linearidade do produto interno, vamos ficar com:

P W ( A ) = A , W W , W W = x y z t , 1 0 1 0 1 0 1 0 , 1 0 1 0 1 0 1 0 + x y z t , 0 1 0 - 1 0 1 0 - 1 , 0 1 0 - 1 0 1 0 - 1

P W = x + 2 y 3 1 0 1 0 + 2 y - t 3 0 1 0 - 1

P W = 1 3 x + 2 z 2 y - t x + 2 z t - 2 y

Resposta

(a)   W ⊥ = - 2 0 1 0 , 0 1 0 2

(b) P W x y z t = 1 3 x + 2 z 2 y - t x + 2 z t - 2 y

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