Seja o espaço vetorial das matrizes dois por dois com produto interno:
Consideremos
(a) Determine (complemento ortogonal de W)
(b) Seja o operador projeção ortogonal em W. Determine
Passo 1
(a) O complemento ortogonal do subespaço vetorial W vai ser o conjunto formado pelos elementos de V (ou seja, as matrizes dois por dois) que são ortogonais aos elementos de W.
Mais formalmente, vai ser o conjunto:
Pois vimos que quando o produto interno entre dois elementos de um conjunto é igual a zero, os elementos desse conjunto são ortogonais entre si!
Agora vamos usar o produto interno que o enunciado definiu para expandir as condições desse nosso conjunto .
Pela primeira condição, vamos ter:
Já pela segunda:
Ou seja, temos o sistema linear:
Isolando x na primeira equação e t na segunda, vamos ter:
Então já podemos escrever agora os elementos de ! Eles vão ser da forma:
Logo:
Passo 2
(b) O enunciado nos disse que:
Usando a definição de produto interno dada, vemos que as matrizes de W são ortogonais, pois:
Como a base é ortogonal, a projeção ortogonal de uma matriz A no subespaço vetorial W vai poder ser feita fazendo:
Sendo:
Usando a base de W dada, a matriz A que definimos acima e a linearidade do produto interno, vamos ficar com:
Resposta
(a)
(b)