Foi pedido a Carolzinha que provasse a proposição:
“Se são ortogonais a , então , sendo é base de ”
Assim Carolzinha deu a seguinte resposta:
“Devemos primeiramente construir a base de . E assim, é uma possível base de . Assim, vamos fazer o seguinte:
Usando as propriedades do produto interno:
E assim, aplicando a hipótese, vamos ter em todos os casos . E assim, como , é verdade que ”
Sabendo que Carolzinha está errada, qual foi o erro de Carolzinha?
Passo 1
Carolzinha fez o produto interno de , que queríamos saber se pertencia à , com os vetores da base de e igualou a zero. Isso quer dizer que ela achou que o complemento ortogonal é formado por vetores ortogonais, e isso não é necessariamente verdade.
O complemento ortogonal não é um conjunto ortogonal, ele é ortogonal aos vetores de .
Passo 2
O que Carolzinha deveria ter feito era ter utilizado o fato de que, se são ortogonais a , então:
Assim basta somar :
Passo 3
Reorganizando:
E assim, vemos que é exatamente o complemento ortogonal.
Resposta
Ei, a resposta está no passo a passo :)