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Exercícios Resolvidos de Complemento Ortogonal

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Enunciado

UFRJ, P3-2019.1

Sejam G 1 e G 2 subespaços vetoriais de R n tais que G 1 é ortogonal a G 2 . Assinale a alternativa correta:

  1. R n = G 1 ∪ G 2 ⊥ .
  2. G 1 ⊆ G 2 ⊥ .
  3. R n = G 1 ∪ G 2   .
  4. G 1 ⊥ ⊆ G 2   .

Passo 1

Belezoca galerinha, esse exercício parece feio mas nem tanto. Ele mesmo se entrega, saca só.

Ele diz que G 1 e G 2 são subespaços vetoriais de R n , mas isso não traz muita coisa, não podemos medir a dimensão de nenhum desses espaços.

Show de bola, mas aí ele solta que que G 1 é ortogonal a G 2 , e aí ele se entregou todo. Porque se G 1 é ortogonal G 2 quer dizer que podemos ter a certeza que G 1 está contido no complemento ortogonal de G 2 :

G 1 ⊆ G 2 ⊥

Logo nossa resposta certa é a letra (b).

Passo 2

Belezoca, mas podemos testar as outras afirmativas. Na letra (a), ele diz que R n = G 1 ∪ G 2 ⊥ , mas acabamos de ver que G 1 ⊆ G 2 ⊥ , se a afirmativa fosse verdadeira, então R n = G 2 ⊥ , o que não pode acontecer.

Na letra (c), diz que se a gente unir G 1 e G 2 ,   c hegaremos em R n , mas não sabemos as dimensões de G 1 e G 2 , então não podemos garantir que a soma deles resulta em n .

E por fim, para a letra (d), temos que G 1 ⊥ ⊆ G 2   , mas não podemos garantir isso, porque não sabemos se existem apenas G 1 e G 2 em R n , se houver outro espaço ortogonal junto com eles, então não podemos que o complemento ortogonal de G 1 está contido em G 2 .

Resposta

Letra (b).

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