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Exercícios Resolvidos de Complemento Ortogonal

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Enunciado

Determine uma base de H ⊥ , onde

a   H é a reta em R 2 dada por 2 x + 3 y = 0

b   H é o plano em R 3 dado por x - y + z = 0

c   H = s p a n 1,3 , 1 , 3,1 , 2 , 2 , - 2,1 ⊂ R 3

d   H = s p a n 0 - 2 - 2 1 - 1 , 0 1 1 0 2 , 0 2 2 - 3 - 5 ⊂ R 5

Passo 1

a   Pela equação da reta temos que 2 x = - 3 y . Logo:

x = - 3 y 2

O vetor genérico de H tem a forma:

- 3 y 2 , y = y - 3 2 , 1 = t - 3,2

Então, para acharmos uma base para H ⊥ , basta acharmos o vetor v ortogonal à - 3,2 :

- 3,2 , v = 0 ⇒ - 3 x + 2 y = 0 ⇒ x = 2 y 3

O vetor genérico de H ⊥ é dado por:

2 y 3 , y = y 2 3 , 1 = t 2,3

Portanto, H ⊥ = 2,3

Outra forma possível era termos pensado que, como estamos no R 2 , o complemento ortogonal de uma reta será sempre a reta perpendicular a ela.

Sendo assim, podemos obter o vetor gerador de H ⊥ simplesmente pegando os coeficientes da equação que nos foi dada:

H = 2 x + 3 y = 0

H ⊥ = s p a n 2,3

Passo 2

b Dessa vez vamos usar a cabeça haha. Temos um plano no R 3 . Portanto, seu complemento ortogonal será a reta perpendicular a ele concorda? Podemos obtê-la simplesmente pegando os coeficientes da equação do plano:

H = x - y + z = 0

H ⊥ = s p a n 1 , - 1,1

Passo 3

c   Agora não tem jeito, vamos jogar os geradores de H nas linhas de uma matriz e calcular seu núcleo:

1 3 1 3 1 2 2 - 2 1 0 0 0 → L 2 ← L 2 - 3 L 1 L 3 ← L 3 - 2 L 1 1 3 1 0 - 8 - 1 0 - 8 - 1 0 0 0 → L 3 ← L 3 - L 2 1 3 1 0 - 8 - 1 0 0 0 0 0 0

Temos então que:

- 8 y - z = 0 ⇒ z = - 8 y

x + 3 y + z = 0 ⇒ x + 3 y - 8 y = 0 ⇒ x = 5 y

O vetor genérico de H ⊥ é dado por:

5 y , y , - 8 y = y 5,1 , - 8

Logo:

H ⊥ = 5,1 , - 8

Passo 4

d   Novamente, jogamos os vetores geradores nas linhas de uma matriz, e calculamos seu núcleo:

0 - 2 - 2 1 - 1 0 1 1 0 2 0 2 2 - 3 - 5 0 0 0 → L 2 ← L 2 + L 1 2 L 3 ← L 3 + L 1 0 - 2 - 2 1 - 1 0 0 0 0,5 1,5 0 0 0 - 2 - 6 0 0 0 → L 3 ← L 3 + 4 L 2

→ L 3 ← L 3 + 4 L 2 0 - 2 - 2 1 - 1 0 0 0 0,5 1,5 0 0 0 0 0 0 0 0

Tomando x , y , z , w , k como vetor genérico do R 5 , temos:

0,5 w + 1,5 k = 0 ⇒ w = - 3 k

- 2 y - 2 z + w - k = 0 ⇒ - 2 y - 2 z - 4 k = 0 ⇒ y = - z - 2 k

Então, o vetor genérico de H ⊥ tem essa cara:

x , - z - 2 k , z , - 3 k , k = x 1,0 , 0,0 , 0 + z 0 , - 1,1 , 0,0 + k 0 , - 2,0 , - 3,1

Portanto,

H ⊥ = 1,0 , 0,0 , 0 , 0 , - 1,1 , 0,0 , 0 , - 2,0 , - 3,1

Resposta

a   H ⊥ = s p a n 2,3

b   H ⊥ = s p a n 1 , - 1,1

c   H ⊥ = 5,1 , - 8

d   H ⊥ = 1,0 , 0,0 , 0 , 0 , - 1,1 , 0,0 , 0 , - 2,0 , - 3,1

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