Derive as funções abaixo:

b )   g ( x ) = x 3 s e n ⁡ ( x ) t g ⁡ ( x )

Passo 1

Para derivar a função g ( x ) = x 3 s i n ⁡ ( x ) t a n ⁡ ( x ) , usaremos a regra do produto e a regra da derivada da tangente. A regra do produto nos diz que a derivada de um produto de duas funções é dada por:

( u v ) ' = u ' v + u v '

onde u e v são funções de x , e u ' e v ' são suas respectivas derivadas em relação a x .A regra da derivada da tangente afirma que a derivada da função tangente é s e c 2 ⁡ ( x ) .Vamos aplicar essas regras à função dada:

g ( x ) = x 3 s i n ⁡ ( x ) t a n ⁡ ( x )

Passo 2

Vamos aplicar a regra do produto, partiu?

( u v ) ' = u ' v + u v '

u= x 3 e v = s i n ⁡ ( x ) t a n ⁡ ( x )

Vamos derivar u e v.

u ' = 1 3 x 2 / 3 .

Passo 3

A derivada de v = s i n ⁡ ( x ) t a n ⁡ ( x ) é obtida usando a regra do produto novamente. Definimos f(x)=sin(x) e h(x)=tan(x), então:

  f   x ' = cos ⁡ x

h   '   ( x ) = s e c ²   ( x ) .

Usando a regra do produto novamente, obtemos a derivada de v(x):

v ' ( x ) = f ( x ) g   '   ( x ) + f   '   ( x ) g ( x ) = s i n ( x ) ⋅ s e c ²   ( x ) + c o s ( x ) ⋅ t a n ( x )

Passo 4

Agora, podemos calcular (uv)’ usando as derivadas de u e v:

( u v )   '   = u   '   v + u v   '   =   s i n ( x ) t a n ( x ) 3 x 2 / 3   ​ +   x 3   ​   ⋅ ( s i n ( x ) ⋅ s e c ²   ( x ) + c o s ( x ) ⋅ t a n ( x ) )

Resposta

s i n ( x ) t a n ( x ) 3 x 2 / 3   ​ +   x 3   ​   ⋅ ( s i n ( x ) ⋅ s e c ²   ( x ) + c o s ( x ) ⋅ t a n ( x )

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