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Exercícios Resolvidos de EDO de 2ª Ordem com Coeficientes Constantes

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Exercício 181234567891011121314151617

Enunciado

UFRJ – Cálculo IV 2020/2 – P3 – Questão 8

Resolva o PVI y ' ' + 6 y + 34 y = 30 sen ⁡ 2 x , com y 0 = 0 ,   y ' 0 = 0

a )   y x = 10 29 - cos ⁡ 2 x + 5 2 e - 3 x sen ⁡ 2 x + e - 3 x cos ⁡ 5 x - 2 5 sen ⁡ 5 x

b )   y x = 10 29 cos ⁡ 5 x - 2 5 sen ⁡ 5 x - e - 3 x cos ⁡ 2 x + 5 2 e - 3 x sen ⁡ 2 x

c )   y x = 10 29 - e - 3 x cos ⁡ 2 x + 5 2 sen ⁡ 2 x + cos ⁡ 5 x - 2 5 e - 3 x sen ⁡ 5 x

d )   y x = 10 29 - cos ⁡ 2 x + 5 2 sen ⁡ 2 x + e - 3 x cos ⁡ 5 x - 2 5 e - 3 x sen ⁡ 5 x

Passo 1

a)

Utilizando a propriedade de Laplace, transformada da derivada:

L y ' s = s L y s - y 0

L y ' ' s = s 2 L y s - s y 0 - y ' ( 0 )

Com as condições iniciais

L y ' = s L y

L y ' ' = s 2 L y

Aplicando a transformada na EDO:

L y ' ' + 6 y + 34 y = L [ 30  sen ⁡ 2 x ]

Mas sabemos que:

L y ' ' + 6 y + 34 y = L y ' ' + 6 L y ' + 34 L [ y ]

Substituindo as transformadas:

L y ' ' + 6 y + 34 y = s 2 L y + 6 s L y + 34 L [ y ]

Arrumando:

L y ' ' + 6 y + 34 y = L y s 2 + 6 s + 34

Passo 2

Agora o lado direito:

L 30  sen ⁡ 2 x = 30 2 s 2 + 4 = 60 s 2 + 4

Assim a EDO fica:

s 2 + 6 s + 34 L y s = 60 s 2 + 4

Rearranjando

L y s = 60 ( s 2 + 4 ) s 2 + 6 s + 34

E separando em frações parciais...

L y s = 60 ( s 2 + 4 ) s 2 + 6 s + 34 = A s + B s 2 + 4 + C s + D s 2 + 6 s + 34

L y s = A s 3 + 6 A s 2 + 34 A s + B s 2 + 6 B s + 34 B + C s 3 + D s 2 + 4 C s + 4 D ( s 2 + 4 ) ( s 2 + 6 s + 34 )

L y s = A s 3 + C s 3 + 6 A s 2 + B s 2 + D s 2 + 34 A s + 4 C s + 6 B s + 34 B + 4 D ( s 2 + 4 ) ( s 2 + 6 s + 34 )

Obtemos que...

A + C = 0 6 A + B + D = 0 34 A + 4 C + 6 B = 0 34 B + 4 D = 60

E resolvendo esse sistema, chegamos à seguinte expressão final...

L y s = - 10 s + 50 29 ( s 2 + 4 ) + 10 s + 10 29 ( s 2 + 6 s + 34 )

Expandindo a expressão...

L y s = - 10 s 29 ( s 2 + 4 ) + 50 29 ( s 2 + 4 ) + 10 29 s + 3 s + 3 2 + 25 - 2 0 29 1 s + 3 2 + 25

Passo 3

Usando a propriedade da linearidade, vamos aplicar a Transformada Inversa...

y ( x ) = L - 1 - 10 s 29 s 2 + 4 + 50 29 s 2 + 4 + 10 29 s + 3 s + 3 2 + 25 - 20 29 s + 3 s + 3 2 + 25

y x = - 10 29 L - 1 s s 2 + 4 + 50 29 L - 1 1 s 2 + 4 + 10 29 L - 1 s + 3 s + 3 2 + 25 - 20 29 L - 1 1 s + 3 2 + 25

E assim,

- 10 29 L - 1 s s 2 + 4 = - 10 29   cos ⁡ 2 x

50 29 L - 1 1 s 2 + 4 = 50 29 sen ⁡ 2 x 2  

10 29 L - 1 s + 3 s + 3 2 + 25 = 10 29 e - 3 x cos ⁡ 5 x

- 2 0 29 L - 1 1 s + 3 2 + 25 = - 1 5 e - 3 x sen ⁡ 5 x

Temos que...

y x = - 10 29   cos ⁡ 2 x + 50 29 sen ⁡ 2 x 2 + e - 3 x cos ⁡ 5 x - 1 5 e - 3 x sen ⁡ 5 x

y x = 10 29 - cos ⁡ 2 x + 5 2 sen ⁡ 2 x + e - 3 x cos ⁡ 5 x - 2 5 e - 3 x sen ⁡ 5 x

E a resposta certa é a letra (d)!

Resposta

d )   y x = 10 29 - cos ⁡ 2 x + 5 2 sen ⁡ 2 x + e - 3 x cos ⁡ 5 x - 2 5 e - 3 x sen ⁡ 5 x