Considere o PVI:
a) Ache a transformada de Laplace da solução deste PVI.
b) Expresse a solução particular do PVI em função de uma convolução
Passo 1
a)
Utilizando a propriedade de Laplace, transformada da derivada:
Com as condições iniciais
Aplicando a transformada na EDO:
Mas sabemos que:
Substituindo as transformadas:
Arrumando:
Passo 2
Agora o lado direito:
Assim a EDO fica:
Jogando os termos sem Laplace para o lado direito:
Vou dividir tudo por :
Colocando em evidência:
Eita que doidera, né?! Mas a letra já foi!
Passo 3
b) Agora pra letra , vamos pegar o resultado da e arrumar de novo:
Porque isso ajuda a gente? Bem, porque podemos usar a propriedade distributiva da integral de convolução!
Dessa forma, temos que:
Mas opa, dois desses aí são tranquilos, vamos ter:
O que sobrou a gente tenta achar a transformada inversa também
Utilizando frações parciais
Assim obteremos o seguinte sistema
E encontraremos que
E assim,
E desses dois dentro dos colchetes nós sabemos a transformada inversa.
Com isso podemos concluir que:
Chegamos ao fim, vamos ter:
E dá uma olhada nisso: Tá vendo que temos um produto de transformadas? E nós sabemos quais funções deram origem a essas transformadas! Então o que temos que fazer é só escrever na forma da definição de convolução igual aqui em baixo!
Pronto!