Questão 2: Faça o que se pede em cada item:
- Utilizando a transformada de Laplace, resolva o PVI dado por .
E condições iniciais e .
Passo 1
Antes aplicar Laplace na EDO, vamos fazer uma coisinha que vai nos ajudar muito: veja que estamos trabalhando com uma EDO com duas definições diferentes:
Vamos chamar de , essa função que tem duas definições:
Isso facilita a vida, pois agora temos que resolver uma EDO apenas:
Na verdade ainda continua sendo duas EDO’s, mas mascarada de forma mais fácil, entende? Mas chega de Blá Blá Blá e bora aplicar Laplace?
Passo 2
POXA! Para você que não se recorda, venho falando “Aplicar Laplace” em uma EDO e isso é literalmente aplicar a transformada dos dois lados da igualdade:
A transformada da soma é a soma das transformadas...
A transformada de Laplace da função genérica é (a gente sempre representa por letra maiúscula):
Assim:
Como e ...
Isolando que a nossa função resposta em Laplace:
O que basicamente devemos fazer agora é desenvolver o inverso, ou seja, aplicar Laplace inverso:
Agora sim, vamos precisar conhecer , para calcular o Laplace inverso desse cara e matar o problema. Vamos nessa?
Passo 3
Nos chamamos de a função definida por partes:
Então podemos dizer que:
Pela transformada da função degrau:
Prontinho! Agora voltemos para onde paramos no passo anterior!
Passo 4
Pela tabela:
Passo 5
Vai ficar então:
Podemos decompor essa fração em frações parciais:
Olhando só o lado direito (colocando no mesmo denominador comum as fações):
Comparando agora esse resultado aí com a nossa fração original:
Onde a gente tira que
Logo...
Passo 6
Lembrando da transformada da função degrau:
Então:
Temos . Então:
Então:
Passo 7
Então a gente pode falar que...