Considere o seguinte PVI:
Resolva usando transformada de Laplace.
Passo 1
Vamos lembrar as transformadas das derivadas:
Em breve usaremos isso!
Vamos aplicar a transformada em ambos os lados da EDO:
E a transformada de uma exponencial:
Substituindo as transformadas:
Passo 2
Agrupando tudo que tem e colocando o resto para outro lado da equação:
Assim:
Passo 3
Vamos achar as raízes de :
Eita, não deu galera! As raízes vão dar números complexos! Então vamos só completar quadrado perfeito:
Substituindo isso na EDO:
Passo 4
Vamos aplicar frações parciais :
Galera, eu voltei a ao invés de para fazer o mmc!
Assim:
Igualando os coeficientes:
Analisando a segunda e a terceira equação:
Somando esses 2 termos:
Assim:
E
Logo ficou:
Então finalmente:
Passo 5
Então vamos resolver cada um:
Esse representa que a função está deslocada em , o macete é esquecer ela por um momentinho e ficar só com:
Beleza, agora lembre que era está deslocada, isso representa uma exponencial, em que a constante do expoente é o deslocamento da função , tá lá na nossa teoria ;), então fica assim:
E finalmente a solução: