Exercícios Resolvidos de Equações de Graus Maiores

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Enunciado

1. Determine todas as raízes da equação x 5 - 5 x 4 + 9 x 3 - 7 x 2 + 2 x = 0 bem como suas respectivas multiplicidades.

Passo 1

Fala meus chuchuzinhos da UFPE, bora matar essa questão de Cálculo 1?

Bom galera, nessa questão nós temos uma equação polinomial e ela nos pede para encontrar as raízes dessa equação.

Basicamente, o que queremos encontrar aqui é o valor de x que de fato zera essa equação.

Como esse polinômio ele é do quinto grau, nós não temos como simplesmente usar bhaskara, pois bhaskara só serve para um polinômio de segundo grau.

Por conta disso, vamos precisar olhar para a cara do nosso polinômio e verificar alguns valores padrão para a raíz.

Também vamos precisar usar a divisão de polinômio, para ir reduzindo o grau do nosso polinômio e facilitar a nossa vida ao encontrar as raízes, então bora lá?

Passo 2

Bom, nosso polinômio é o seguinte:

x 5 - 5 x 4 + 9 x 3 - 7 x 2 + 2 x

E a pergunta que temos é: quais são os valores de x que zeram esse polinômio, ou seja, quais as raízes dele.

A primeira raíz que podemos encontrar aqui é o x 0 = 0 .

Afinal, o nosso polinômio não tem nenhum termo independente, isso é, nenhum termo que não multiplique por x , portanto, se x = 0 , todo esse polinômio também vale zero:

0 5 - 5 0 4 + 9 0 3 - 7 0 2 + 2 0 = 0

Beleza, agora que descobrimos uma raíz, vamos reescrever esse polinômio para diminuir o grau dele.

A regra aqui é a seguinte, você vai dividir o polinômio por x - x 0 , que nesse caso x 0 = 0 , então dividindo o polinômio por x , teremos:

x 5 - 5 x 4 + 9 x 3 - 7 x 2 + 2 x x = x 4 - 5 x 3 + 9 x 2 - 7 x + 2

Com isso, podemos reescrever nosso polinômio como sendo:

x 4 - 5 x 3 + 9 x 2 - 7 x + 2 x

Agora temos uma multiplicação de polinômio e o termo x possui raíz x 0 = 0 , agora vamos procurar pelas demais raízes que estão no termo x 4 - 5 x 3 + 9 x 2 - 7 x + 2

Passo 3

Bom, agora não temos muito o que fazer, vamos tentar chutar valores que zerem esse nosso termo, vou começar tentando o x 1 = 1 .

1 4 - 5 1 3 + 9 1 2 - 7 1 + 2 = 0

Opa, conseguimos zerar o nosso termo, portanto x 1 = 1 é uma raíz. Agora, para reduzir o grau desse termo, vamos dividir x 4 - 5 x 3 + 9 x 2 - 7 x + 2 por x - x 1 que no caso é x - 1 .

Com isso podemos reescrever o nosso polinômio da seguinte forma:

x 4 - 5 x 3 + 9 x 2 - 7 x + 2 x = x 3 - 4 x 2 + 5 x - 2 x - 1 x

E sabemos que até o momento x 0 = 0 e x 1 = 1 são raízes do polinômio, ambas de multiplicidade um até o momento. Vamos agora procurar pelas raízes que estão no termo x 3 - 4 x 2 + 5 x - 2

Passo 4

Mesmo processo, chutar valores. Aqui você pode chutar de novo o valor x 2 = 1 , pois pode acontecer dessa raiz aparecer duas vezes, nada impede. Bom, vamos ver se é o caso:

1 3 - 4 1 2 + 5 1 - 2 = 0

Opa, zeramos o nosso polinômio, portanto x 2 = 1 é uma raíz. Vamos agora dividir o nosso termo por x - 1 para diminuir o grau do nosso polinômio:

Portanto, podemos reescrever nosso polinômio como sendo:

x 3 - 4 x 2 + 5 x - 2 x - 1 x = x 2 - 3 x + 2 x - 1 2 x

E as raízes são x 0 = 0 com multiplicidade 1 e x 1 = 1 com multiplicidade 2. Agora temos um termo de segundo grau e para encontrar as raízes dele podemos usar Bhaskara!!

Passo 5

Aplicando Bhaskara em x 2 - 3 x + 2 , teremos:

Δ = - 3 2 - 4 1 2 = 9 - 8 = 1

x = - - 3 ± 1 2 1

x = 3 ± 1 2

x 2 = 4 2 = 2     e   x 3 = 2 2 = 1

Portanto encontramos aqui as raízes x 2 = 2 e x 3 = 1 , sendo que x 3 = 1 já era uma raíz de multiplicidade 2 e agora descobrimos que ela é de multiplicidade 3. Dessa forma, podemos reescrever nosso polinômio como:

x 2 - 3 x + 2 x - 1 2 x = x - 2 x - 1 3 x

E as raízes são:

x 0 = 0 ,   m u l t i p l i c i d a d e   1

x 1 = 1 ,   m u l t i p l i c i d a d e   3

x 2 = 2 ,   m u l t i p l i c i d a d e   1

Resposta

x 0 = 0 ,   m u l t i p l i c i d a d e   1

x 1 = 1 ,   m u l t i p l i c i d a d e   3

x 2 = 2 ,   m u l t i p l i c i d a d e   1