Quais são as raízes da equação de quarto grau abaixo?
Passo 1
Opaaaaa! Queremos encontrar as raízes dessa equação de quarto grau, certo? Para isso, utilizaremos o processo de Briot-Ruffini! Com ele conseguiremos reduzir o grau do nosso polinômio até chegar numa equação que conseguimos resolver!!
Para usá-lo, precisamos conhecer pelo menos uma raiz da expressão que queremos reduzir o grau. Nesse caso, vamos testar alguns valores de e ver se damos sorte:
Vamos primeiro testar
Substituindo o valor, temos
Opa, essa igualdade não é verdade! . Logo, não é raíz dessa equação!
Vamos testar
Substituindo o valor, temos
Opaaaaa, com , nossa expressão zerou, o que significa que a igualdade será válida e é uma raiz da nossa equação.
Passo 2
Agora sim, vamos a Briot Ruffini!! Com esse método vamos reescrever nossa equação como uma multiplicação de , onde esse é a raiz que conhecemos, vezes um outro polinômio de grau menor. No nosso caso, teremos:
Beleza?! Então vamos lá! Primeira coisa que faremos é armar o quadro:
Na parte superior esquerda, colocamos a raiz que já conhecemos, no caso, :
Na parte superior direita, colocamos os coeficientes da expressão que queremos reduzir:
Agora, vamos repetir o primeiro coeficiente da parte superior direita na parte de baixo:
E multiplicar o número que desceu pela raiz conhecida:
Agora, some o resultado com o segundo coeficiente à direita
e coloque o resultado logo abaixo deste:
Beleza?!
Agora vamos repetir o processo até chegar no último coeficiente:
Agora o resultado da multiplicação somamos com o terceiro coeficiente à direita
E colocaremos o resultado logo abaixo deste:
Continuando utilizando o mesmo raciocínio...
Fazendo a multiplicação, temos
O resultado somamos com o quarto coeficiente à direita
E colocaremos o resultado logo abaixo deste:
Pra encerrar...
Fazendo a multiplicação, temos
O resultado somamos com o quinto coeficiente à direita
E colocaremos o resultado logo abaixo deste:
O último termo do resultado é o resto, mas como o resto é zero, não precisamos nos preocupar com ele. Fica tranquilo que a ideia aqui é sempre encontrarmos zero mesmo, então vamos seguir!
Agora, vamos escrever os três números restantes que encontramos como coeficientes de uma expressão do 2º grau:
Que é a mesma coisa que
Beleza... Tínhamos uma equação do 4º grau, achamos uma das raízes que é e ao utilizar Briot Ruffini conseguimos reduzir para uma equação do 3º grau. E agora??
Passo 3
Agora nós utilizaremos novamente Briot Ruffini na equação do terceiro grau
Assim, precisamos conhecer pelo menos uma raiz da expressão que queremos reduzir o grau. Nesse caso, vamos testar novamente alguns valores de e ver se damos sorte.
Vamos testar novamente o :
Substituindo os valores
OPAAAAA! De cara já encontramos uma raíz da equação de terceiro grau. O também é raíz dessa equação!
Agora podemos montar o quadrinho e utilizar novamente Briot Ruffini:
Ao repetir o processo, achamos a equação
Show de bola?!
Passo 4
Tá acabando!! Agora só falta encontrarmos as raízes da equação
Como temos uma equação do 2º grau, vamos usar a fórmula de Bhaskara:
Beleza?!
Primeira coisa que precisamos fazer é identificar quem é o , e . Lembra da carinha da nossa equação do 2º grau? Ela tem essa carinha aqui
Então, comparando com a nossa equação
Conseguimos encontrar os valores de , e :
Beleza?! Agora vamos utilizar esses valores para encontrar o :
Substituindo os valores , e , temos
Fazendo as continhas, temos
Passo 5
Agora podemos substituir o valor de e os demais valores na fórmula de Bhaskara:
Encontramos a raíz então para a equação do segundo grau.
Então, as soluções para nossa equação são .